3.3.3.Энергия взаимодействия точечных зарядов. Энергия заряженных проводников.

Ранее мы показали, что электрический заряд, находящийся в электрическом поле, обладает энергией, которую можно найти по формуле 1.18. Поэтому энергия системы двух точечных зарядов , расположенных на расстоянии r друг от друга может быть определена следующим образом. Пусть заряд находится в электрическом поле, создаваемым вторым зарядом. Тогда

. 3.6

Очевидно, справедливо и обратное утверждение: заряд в поле первого заряда будет обладать энергией

. 3.7

Из 3.6 и 3.7 следует, что , и общую энергию системы двух точечных зарядов можно записать в виде:

. 3.8

Для системы состоящей из N точечных зарядов выражение 3.8 запишется в виде:

, 3.9

где .

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать, как систему точечных зарядов . Поэтому заряженный проводник будет обладать энергией. Найдем величину этой энергии.

Пусть заряд проводника равен , его емкость С, а потенциал . Для увеличения заряда тела на величину нужно совершить работу . Дифференцируя выражение 3.2 получим и тогда . Интегрируя полученное выражение найдем, что

. 3.10

Естественно считать энергию незаряженного проводника равной нулю, тогда постоянная интегрирования будет равна нулю, и для энергии заряженного проводника получим выражение

. 3.11

Как и всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией

. 3.12

В случае плоского конденсатора , и тогда выражение 3.12 примет вид

. 3.13

Введем величину

, 3.14

которую будем называть объемной плотностью энергии. Тогда для электрического поля в конденсаторе получим, что

. 3.15

С учетом того, что выражение 3.15 примет вид

. 3.16

Тот факт, что объемная плотность энергии выражается через характеристики электрического поля , говорит о том, что само поле обладает энергией.

Электростатика Примеры решения задач

Задача 1. Два положительных точечных заряда и закреплены на расстоянии 0,6 м друг от друга. Определить в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии.

Дано:

Третий заряд будет находиться в равновесии, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю, т.е. или .

По закону Кулона , . Тогда . Подставляя численные значения, получим квадратное уравнение . Решая полученное уравнение относительно , получим , . Второе решение не удовлетворяет физическому условию задачи (докажите) и должно быть отброшено. Следовательно, третий заряд должен быть помещен на расстоянии 0,2 м от первого заряда.

Ответ: .

Задача 2. Тонкий стержень длиной 0,1 м равномерно заряжен с линейной плотностью заряда . На продолжении оси стержня на расстоянии 0,2 м от ближайшего его конца находится точечный заряд . Определить силу, действующую на точечный заряд со стороны стержня.

Дано:

В данном случае заряд на стержне нельзя считать точным и, поэтому, нельзя применять закон Кулона.

Выделим на стержне участок длиной , несущий заряд , который можно считать точечным. По закону Кулона . Тогда результирующая сила . Так как все силы, действующие со стороны элементов стержня на точечный заряд, направлены в одну сторону, то геометрическое сложение можно заменить алгебраическим и, поэтому, .

Вычисляя, найдем .

Ответ: .

Задача 3. Электрическое поле создается двумя пластинами, равномерно заряженными с поверхностной плотностью заряда и . Определить напряженность электрического поля, создаваемого пластинами.

Дано:

Напряженность электрического поля создаваемого заряженной плоскостью определяется по формуле . Плоскости делят пространство на три области. Как видно из рисунка в первой и третьей области напряженности электрических полей, создаваемых каждой пластиной, направлены в разные стороны и, поэтому, . Между пластинами они направлены в одну сторону и, поэтому, .

Вычисляя, получим , .

Ответ: .

Задача 4. Три точечных заряда по расположены на одной прямой, на расстоянии 20 см друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы расположить эти заряды в вершинах равностороннего треугольника со стороной 20 см?

Р

Дано:

абота, совершаемая при перемещении зарядов, может быть найдена как изменение энергии системы. Потенциальная энергия системы зарядов определяется по формуле . Так как потенциал поля точечного заряда определяется по формуле , то в исходном состоянии система будет обладать энергией , а в конечном состоянии энергия будет равна . Значит .

Подставляя численные значения, найдем .

Ответ:

Задача 5. Электрическое поле бесконечно длинным цилиндром радиуса 5 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда . Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстоянии 1 и 2,5 см от поверхности этого цилиндра.

Дано:

Для поля, создаваемого цилиндром, справедливо выражение . Отсюда и, тогда для нахождения разности потенциалов между двумя точками поля это выражение необходимо проинтегрировать, т.е. . Для того, чтобы найти этот интеграл надо знать зависимость напряженности электрического поля от расстояния. Для нахождения этой зависимости воспользуемся теоремой Гаусса .

Взяв в качестве замкнутой поверхности цилиндрическую поверхность коаксиальную с заданным цилиндром можно получить и тогда .

Вычисляя, получим .

Ответ: .

Задача 6. Пылинка массой , несущая заряд , прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов 600 кВ. Какую скорость приобретает пылинка, если ее начальная скорость равна нулю?

Э

Дано:

лектрическое поле совершает работу равную . Эта работа идет на изменение кинетической энергии пылинки . Так как , то и тогда .

Вычисляя, найдем .

Ответ: .

Задача 7. Конденсатор емкостью 0,6 мкФ, заряженный до 600 В, соединяют параллельно с конденсатором емкостью 0,4 мкФ заряженным до 150 В. Какое напряжение установится на батарее конденсаторов? Какая энергия выделится при образовании искры?

Дано:

Общая емкость двух параллельно соединенных конденсаторов , а общий заряд батареи . Тогда .

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле и тогда, до соединения энергия системы была равна . После соединения конденсаторов энергия батареи будет равна , следовательно, . Вычисляя, получим , .

Ответ: .

Задача 8. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкостью соединены параллельно в батарею и заряжены до 400 В. Какое напряжение установится на батарее, если один из конденсаторов заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью равной 7?

П

Дано:

усть емкость одного конденсатора равна . Тогда в исходном состоянии емкость батареи будет равна , а ее заряд .

После того как в один из конденсаторов вставили диэлектрик, его емкость увеличилась в раз и емкость батареи будет равна , заряд батареи - . Так как заряд батареи при этом не изменяется, т.е. , то .

Вычисляя, найдем .

Ответ: .