Тема 3 Двухфакторный дисперсионный анализ

При исследовании зависимости средней оценки Y по математической ста­тистике в группе от метода обучения (A(1) — традиционный классический, A(2) — компьютерный, A(3) — комбинированный), будущего направления подготовки (B(1) — «Менеджмент», B(2) — «Социология») и их взаимодействия было выделе­но случайным образом 18 групп, которые приписывались в равных количест­вах шести комбинациям методов и специальностей. Знания оценивались тес­том, состоящим из 120 вопросов. Сведения о среднем числе правильных ответов в группах приведены в табл.:

	64	64	65	74	73	75
	64	69	70	81	82	83
	80	80	83	95	93	92

Задание 1

Записать детерминированную модель двухфакторного дисперсионного анализа (с повторениями) средней оценки по математической статистике в группе и предъявляемые к модели требования; проверить гипотезу о равенстве групповых генеральных дисперсий.

Детерминированная модель двухфакторного дисперсионного анализа (с повторениями) средней оценки по математической статистике в группе имеет следующий вид:

где , и - неслучайные эффекты влияния на наблюдение уровней факторов А и В и взаимодействия этих уровней, - случайный эффект влияния прочих неконтролируемых факторов.

К этой модели предъявляются следующие требования:

• все случайных величин или, иначе, все 18 наблюдений должны быть независимыми;

• или, иначе, , т.е. при каждой комбинации уровней факторов наблюдения должны проводиться в одинаковых («нормальных») вероятностных условиях с дисперсией, не изменяющейся при переходе от одной комбинации уровней к другой;

Задание 2

Построить дисперсионную таблицу; на 5%ном уровне значимости проверить гипотезы об отсутствии влияния на среднюю оценку: метода обучения; будущей специальности; взаимодействия метода обучения и будущей специальности.

Для исследования модели воспользуемся программой «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями», выбрав соответствующий пункт меню надстойки «Анализ данных».

Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
ИТОГИ	B(1)	B(2)	Итого
A(1)
Счет	3	3	6
Сумма	193	222	415
Среднее	64,33333	74	69,17
Дисперсия	0,333333	1	28,56667
A(2)
Счет	3	3	6
Сумма	203	246	449
Среднее	67,66667	82	74,83
Дисперсия	10,33333	1	66,16667
A(3)
Счет	3	3	6
Сумма	243	280	523
Среднее	81	93,33	87,17
Дисперсия	3	2,333	47,76667
Итого
Счет	9	9
Сумма	639	748
Среднее	71	83,11
Дисперсия	61,75	71,86
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F		P-Значение		F критическое
Выборка	1016,444	2	508,2222	169,4074074		1,60184E-09		3,885293835
Столбцы	660,0556	1	660,0556	220,0185185		4,4169E-09		4,747225336
Взаимодействие	16,44444	2	8,222222	2,740740741		0,104620808		3,885293835
Внутри	36	12	3
Итого	1728,944	17

Таблица «Дисперсионный анализ», полученная в результате работы программы, представляет собой дисперсионную таблицу. В этой таблице «Выборка» - это фактор А, «Столбцы» - это фактор В, «Взаимодействие» - это взаимодействие факторов А и В, «Внутри» - это неконтролируемые факторы, «SS» - сумма квадратов, «df» - число степеней свободы, «MS» - средняя сумма квадратов, равная отношению SS к df, «F» - числовое значение статистики F, соответствующей проверямой гипотезе, «Р-значение» - это рассчитанный уровень значимости, «F критическое» - ная критическая точка распределения Фишера-Снедекора с соответствующими числами степеней свободы.

Проверим на 5%-ном уровне значимости гипотезу об отсутствии влияния на среднюю оценку Y фактора А – метода обучения.

Наблюдаемое значение статистики

равно 508,21/3=169,41

_{Если гипотеза} верна, то статистика имеет распределение Фишера-Снедекора с и степенями свободы. При проверке гипотезы Р-значение (которое приводится в результатах работы программы в таблице «Дисперсионный анализ») равно рассчитанному уровню значимости гипотезы Н_А), и гипотеза Н_А отвергается, поскольку

1,60184E-09<0.05.

Аналогичным образом отвергаются гипотезы (об отсутствии влияния на среднюю оценку Y по математической статистике фактора В – будущей специальности) а гипотеза (об отсутствии влияния на среднюю оценку Y взаимодействия метод обучения и будущей специальности) принимается, поскольку P>α а именно 0,104>0,05. Таким образом, метод обучения, будущая специальность влияют на среднюю оценку по математической статистике в группе,а их взаимодействие не влияет. Оценим силу этого влияния, вычислив соответствующие коэффициенты детерминации.

Задание 3

При отклонении каких-либо из перечисленных гипотез рассчитать соответствующий коэффициент детерминации

Поскольку коэффициент детерминации ή² = , то 59% общей вариации средней оценки Y обусловлено изменчивостью фактора А– метода обучения.

Так как ή² = = 0.38 то 38% общей вариации средней оценки Y обусловлено изменчивостью фактора В– будущей специальности. Так как взаимодействие факторов А и В не влияет на результативный показатель коэффициент детерминации для него мы не рассчитываем

Влиянием неконтролируемых факторов обусловлен 100-59-38=3% вариации средней оценки по математической статистике.

Задание 4

Оценить параметры модели

Оценки	Формулы и числовые значения
	= 77.06
	- = 69.17-77.06=-7.89
	- = 74.83 – 77.06 = -2.15
	- = 87.17-77.06 = 10.11
	- = 71-77.06 = -6.06
	- = 83.11 – 77.06 = 6.05
	- - + = 64.33-69.17-71+77.06 = 1.22
	- - + = 74-69.17-83.11+77.06 = -1.22
	- - + = 67.67-74.83-71+77.06 = -1.1
	- - + = 82-74.83-83.11+77.06 = 1.12
	- - + = 81-87.17-71+77.06 = -0.11
	- - + = 93.33-87.17-83.11+77.06 = 0.11