3.1. Кривые поверхности.

Первоначальные наглядные представления о поверхности, также как и о более простых геометрических фигурах: точках и линиях, мы приобретаем из повседневного опыта, который показывает нам подход к формальному определению этих геометрических фигур.

По аналогии с определением линии как однопараметрического (одномерного) множества точек можно дать определение поверхности: поверхность - это непрерывное двупараметрическое (двумерное) множество точек.

В декартовой системе координат положение точки на плоскости определяется заданием двух параметров - абсциссы и ординаты. Точка на произвольной поверхности будет также определяться двумя параметрами - криволинейными координатами u и v.

Из сказанного выше следует возможность другого определения поверхности: поверхность - это непрерывное однопараметрическое (одномерное) множество линий, имеющих единый закон образования.

В зависимости от вида линий, закона их образования и распределения получаем различные поверхности. На некоторых поверхностях имеется множество конгруэнтных линий, на других нет множества конгруэнтных линий. Например, плоскость может рассматриваться как множество прямых, цилиндрическая поверхность как множество прямолинейных или кривых образующих и т.п.

Множество точек, определяющих поверхность, называется ее точечным каркасом. Множество линий, определяющих поверхность, называется ее линейным каркасом. Если множество элементов (точек, линий), определяющих поверхность непрерывно, то каркас называется непрерывным, в противном случае он называется дискретным.

3.1. Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Пусть даны три пространственные кривые а, b, с.

Возьмем на кривой а произвольную точку М, примем ее за вершину конической поверхности a, а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой c. Если N – точка пересечения дуги кривой b с поверхностью a, то прямая МN пересечет дугу кривой с в точке L. Прямая МN и кривая с принадлежат одной конической поверхности, поэтому МN с = L, МNL – образующая поверхности q, заданной тремя кривыми.

Зададим другую точку М1, примем ее за вершину новой конической поверхности a1, которую дуга кривой b пересекает в точке N1. Точки М1 и N1 определяют положение второй конструируемой поверхности и прямой М1N1L1.

Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность.

Движение прямой – образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности. При образовании линейчатой поверхности может быть задана одна или две направляющие. Дополнительные условия движения образующей прямой должны быть даны в законе движения образующей.

3.1.2. Линейчатые поверхности с одной направляющей

Поверхность с ребром возврата

К линейчатым поверхностям с одной направляющей относятся:

Поверхность с ребром возврата (торсовая)

Поверхность коническая

Поверхность цилиндрическая

Плоскость

Рассмотрим первый тип линейчатых поверхностей - поверхность с ребром возврата.

Поверхность с ребром возврата образуется при движении прямой, которая касается направляющей кривой (ребра возврата) в каждом своем положении. Так как в каждой плавной кривой можно провести только одну касательную, то при задании поверхности с ребром возврата – направляющую кривую а можно не указывать. Поэтому определитель такой поверхности будет иметь вид Г (l, d, S).

Закон движения образующей: li d = Si d, где

d – пространственная кривая – ребро возврата;

li – прямая-образующая;

Si – точка, принадлежащая кривой d.

В машиностроении находит применение частный вид торсовой поверхности, у которой ребрам возврата служит цилиндрическая винтовая линия. Полученную с помощью этой линии поверхность называют винтовым торсом. На рисунке показаны ортогональные проекции винтового торса.