2.3.2. Метод триангуляции.
Общим методом построения разверток криволинейных поверхностей является метод триангуляции, при котором поверхность аппроксимируется (заменяется) вписанной или описанной многогранной поверхностью, грани которой – треугольники, а затем строится развертка многогранной поверхности, которая будет приближенной или условной разверткой криволинейной поверхности.
Этот метод применяется при построении развертки конической поверхности, которая аппроксимируется вписанной (реже описанной) пирамидальной поверхностью. Построение развертки конуса сводится к построению развертки пирамиды, у которой боковые грани являются треугольниками.
Рассмотрим построение пирамиды SABC .
Для построения развертки пирамиды необходимо знать длину каждого ребра. Основание пирамиды лежит в плоскости, параллельной плоскости П1, а потому на эту плоскость отрезки АВ, АС и СB проецируются в истинную величину, и их длину можно измерить на горизонтальном поле проекций. Длины ребер AS, BS, CS находим вращением их вокруг горизонтальной оси i до фронтального положения, а потому S1A1, S1B1, S1C1 параллельны оси Х, фронтальные проекции S2A2, S2B2, S2C2 имеют длину, равную длине ребер пирамиды.
После того как найдены длины всех ребер, приступаем к построению развертки. Для этого на свободном чертеже построим треугольник А0В0S0, равный грани АВS, причем |А0S0| = |A2B2|, |S0B0| = |S2B2|, где |A0B0| = |S2C2|, |A0C0| = |A1C1|, |B0C0| = |B1C1|. К боковой развертке примыкает основание А0В0С0.
При построении развертки поверхности иногда приходится наносить линию, расположенную на ней, например линию пересечения с другой поверхностью. На рис. 2 показано построение линии а (1 2 3) (11 21 31, 12 22 32).
Сначала найдены точки 12, 22, 32, а затем построены 10, 20, 30 на развертке, причем |10S0|= |S212|, |S020| = |S222|, |S030| = |S232|.
Метод триангуляции рационально использовать при построении развертки неразвертывающихся линейчатых поверхностей (цилиндроида, коноида, косой плоскости).При этом поверхность разбивают образующими на криволинейные четырехугольники, а затем в каждом четырехугольнике проводят диагонали, т.е. поверхность триангулируют. В этом случае поверхность аппроксимируется многогранной поверхностью, все грани которой треугольники. На рис. 3 показана триангуляция куска поверхности косой плоскости (а, b, П2).
Для построения развертки достаточно найти длины направляющих а, b и диагоналей четырехугольников. Так как образующие косой плоскости параллельны П2, они проецируются на нее в истинную величину.
Длины направляющих а и b найдены методом прямоугольного треугольника, а длины диагоналей – вращением до фронтального положения.
Построение развертки рекомендуется начать с треугольника 102040, затем пристроить к нему 103040, а далее - 304060 и т.д.
2.3.3 Нормальный способ построения развертки.
При построении развертки цилиндрической поверхности последнюю аппроксимируем вписанной или описанной призматической поверхностью, строим ее развертку, которая будет приближенной (условной) разверткой цилиндра. Итак, построение развертки цилиндра сводится к построению развертки призмы, боковая поверхность которой состоит из граней – трапеций. Если основания призмы (цилиндра) параллельны, то грани (трапеции) обращаютсяя в прямоугольники и параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или нет плоскости основания боковым ребрам или образующим.
Построение трапеций и параллелограммов боковой поверхности проще всего произвести по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки оснований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построения развертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо предварительно определить истинный вид нормального сечения данной поверхности, которое получают пересекая поверхность плоскостью. В случае развертки цилиндрической поверхности высотами граней будут хорды, стягивающие дуги нормального сечения, на которые разделена кривая, ограничивающая это сечение. Так как способ требует построения нормального сечения, то он называется нормальным.
Рассмотрим построение развертки треугольной призмы.
Ребра (образующие) параллельны П2, а следовательно, проецируются на нее в истинную величину.
Построим нормальное сечение призмы плоскостью Г(Г АF), причем Г2 А2F2. Треугольник 1 2 3 (11 21 31, 12 22 32) – нормальное сечение.
Вводя новую плоскость П3(П3 || Г, Х1 || Г2), находим истинную величину нормального сечения 13 23 33. Построение развертки призмы начнем с развертки нормального сечения 10 20 30, которое представляет собой отрезок прямой, причем |1020 | = |1323 |, |2030 | = |2333 |, |1030 | = |1333 |. Ребра (образующие) на развертке – перпендикулярны нормальному сечению 10 20 30. Длины отрезков образующих от нормального сечения до оснований могут быть измерены на фронтальных проекциях А2F2, B2E2, C2D2 от проекции нормального сечения n2. На стороне С0В0 строим основание А0В0С0. Аналогично можно построить на развертке второе основание призмы.
Иногда необходимость построения на развертке поверхности точки, расположенной на какой-либо грани, например точки М, лежащей на грани АВЕF. Для этого проведем через точку прямолинейную образующую, найдем точку пересечения с нормальным сечением 42 = l2 n2. Найдем длину 1040 на нормальном сечении n3, |1040 | = |1343 |. На развертке нормального сечения откладываем |1040 | и проводим через 40 образующую l0. Измеряем расстояние М242 и откладываем на l0, получаем искомую точку на развертке M0.
Для построения развертки цилиндрической поверхности помнить, что приближенная развертка будет тем точнее, чем больше граней будет иметь вписанная или описанная призма. Все остальные построения и рассуждения аналогичны построениям развертки призмы.
2.3.4. Особенности построения разверток поверхностей вращения.
При построении развертки поверхности вращения ее разбивают с помощью меридианов на сравнительно узкие, равные между собой доли. Каждую такую долю аппроксимируют цилиндрической поверхностью, которая касается данной поверхности в точке среднего меридиана дали. Этот средний меридиан является нормальным сечением цилиндрической поверхности. Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую долю (рис. 5). Поверхность вращения можно разбить параллелями на доли и около каждой доли описать усеченный конус вращения. Затем построить развертку каждой доли.
Наибольшее применение из развертывающихся поверхностей находит сфера. В инженерной практике она часто применяется потому, что имеет минимальную поверхность и наибольший объем по сравнению с другими поверхностями, имеющими такую же площадь.
Существует несколько способов построения разверток поверхности сферы, все они дают с известной точностью приближенные решения.
Наиболее распространенный способ заключается в том, что поверхность сферы разбивается меридианами на доли (например, 12 частей). Часть сферы, заключенная между двумя соседними сечениями аппроксимируется цилиндром, чаще описанным. Долю разгибают, совмещают с плоскостью и получают “лепесток”, длина которого равна половине длины окружности большееего сечения сферы, а ширина равняется 1/2 части длины этой окружности. Дввенадцать таких лепестков составляют полную развертку поверхности шара. На чертеже показаны не все лепестки (рис. 6). Построение самих лепестков производится следующим образом: на произвольной прямой откладывают длину экватора и делят ее на 12 частей. В середине каждой части проводят прямые, перпендикулярные развертке экватора и откладывают вверх и вниз отрезки, равные 1/4 длины меридиана (экватора). Затем верхнюю и нижнюю части делят на три части и через точки деления проводят отрезки, равные длине дуг, лежащих между меридиональными сечениями на соответствующих параллелях. Соединив полученные точки по лекалу, получают полное очертание каждого лепестка.
При нанесении точек на развертке используют параллели, проходящие через точки деления меридиана. Например, точка N находится на грани 1- и 2-го лепестков.
Точка С находится в нижней части третьего лепестка; чтобы построить ее на развертке, надо провести через точку параллель и отложить на перпендикуляре через середину А0В0 расстояние от ближайшей параллели, измеренное по главному меридиану l. Затем провести развертку параллели и нанести на нее расстояние х, измеренное от ближайшего меридиана на горизонтальной проекции.
Поверхность разбита параллелями на пояса. Поверхность сферы аппроксимируется вписанными или описанными усеченными конусами вращения, опирающимися на параллели. Задача сводится к построению ряда разверток конических поверхностей для одной развертки цилиндрической (среднее сечение, где экватор – нормальное сечение цилиндра).
Лекция №3: