2.2. Вторая позиционная задача
К ней относится задача на пересечение геометрических фигур.
2.2.1. Взаимное пересечение поверхностей
Построение линии взаимного пересечения многогранных поверхностей можно производить двумя способами, комбинируя их между собой или выбирая из них тот, который в зависимости от условий задания дает более простые построения. Эти способы следующие:
1.Определяют точки, в которых ребра одной из многогранных поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных многогранников. При этом можно соединять прямыми проекции лишь тех точек, полученных в процессе построения, которые лежат в одной и той же грани.
2. Определяют отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой (задача на пересечение двух плоскостей между собой); эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении многогранных поверхностей.
Если проекция ребра одной из поверхностей не пересекает проекции грани другой хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает этой грани. Однако пересечение проекций ребра и грани еще не означает, что ребро и грань пересекаются в пространстве.
На приведенном примере показано пересечение поверхности треугольной призмы с треугольной пирамидой. Построение основано на нахождении точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На рисунке 6.13 б показано построение линии пересечения пирамиды АВСS и треугольной призмы DEFD*E*F*.
Для нахождения точек 1 и 2 в которых ребро пирамиды AS пересекает грани DD*EE* и EE*FF* призмы, через проекцию ребра A2S2 проведена фронтально проецирующая плоскость αП2, которая пересекает ребра призмы в трех точках, горизонтальные проекции этих точек пересечения плоскости α с ребрами призмы, образуют треугольник. Проекция ребра пирамиды A1S1 пересекает полученный треугольник в точках 11 и 21.
С помощью фронтально - проецирующей плоскости β, находим точки 5 и 6 пересечения ребра пирамиды SC с гранями призмы EE*FF* и EE*DD*, а при помощи горизонтально проецирующей плоскости γ находим точки 3 и 4 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединив полученные точки, с учетом видимости, получим пространственную ломаную линию – линию пересечения данных многогранников.
2.3. Развертки
2.3.1. Порядок построения разверток.
Поверхность представляется в виде тонкой, гибкой и не растяжимой пленки. Путем изгибания поверхностью фигуру, полученную на плоскости, называют разверткой. Если поверхность можно совместить с плоскостью без складок и разрывов, то поверхность называют развертывающейся, в противном случае – неразвертывающейся. К развертывающимся поверхностям относятся многогранные, цилиндрические, конические и торсовые. Для них можно построить точную развертку, для неразвертыващихся приближенную или условную.
При построении развертки между точками поверхности и точками развертки устанавливается взаимно-однозначное соответствие, т.е. каждой точке поверхности соответствует одна точка поверхности и наоборот. При этом сохраняются следующие величины: длины отрезков линий ( |АВ| = |А0В0|); углы между ними (0 = 00); площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями , 0 (рис. 1 б) развертка поверхности (рис. 1 а). Линия на поверхности, которой на развертке соответствует прямая, определяет кратчайшее расстояние между точками поверхности. Такую линию называют геодезической, отрезок [СD] - геодезическая линия, [С0D0]- отрезок прямой (рис 1).
Построение развертки сводится к определению истинной величины плоских фигур и площадей криволинейных частей конструкции, ограничивающих ее, и ведется в следующем порядке:
1. проводится анализ поверхности конструкции, определяется характер поверхностей, ограничивающих конструкцию (развертывающиеся или нет);
2. аппроксимируются неразвертывающиеся поверхности коническими или цилиндрическими поверхностями;
3. вписываются в криволинейные поверхности (или описываются около них) многогранники;
4. выбираем способ построения развертки;
5.определяем истинные величины ребер аппроксимирующей многогранной поверхности;
6.строится развертка на свободном поле чертежа.