Н

Рисунок 6.18

Перетин багатогранників прямою лінією

Рисунок 6.19

а рисунку 6.19 пряма l, яка є горизонтальною прямою, перетинає тригранну піраміду. Для визначення точок “входу” і “виходу” через пряму проведемо допоміжну горизонтальну площину (₂).

Фронтальна проекція фігури перерізу збігається з фронтальним слідом ₂, а горизонтальна її проекція побудована проведенням ліній проекційного зв’язку з фронтальних проекцій точок перетину ребер піраміди з площиною.

Слід звернути увагу, що площина перерізає піраміду по трикутнику, подібному до трикутника основи піраміди. Перетин цього трикутника з l₁ і дасть нам шукані точки 1₁ і 2₁. По лініях проекційного зв’язку знайдемо 1₂ і 2₂ (показано стрілками). Частина прямої l, яка знаходиться між точками 1-2 проходить всередині піраміди.

Н а рисунку 6.20 показано побудову точки К(К₁, К₂) перетину горизонтально-проекційної прямої l(l_1, l₂) з поверхнею піраміди SABC. Горизонтальна проекція К₁ точки перетину збігається з горизонтальною проекцією l₁ прямої, а фронтальна К₂ побудована з умови, що точка К знаходиться на прямій S1, що належить грані SAB.

Рисунок 6.19 ― Перетин багатогранників прямою лінією

Рисунок 6.20 ― Перетин багатогранників прямою лінією

З адача. Побудувати точки перетину прямої l з поверхнею похилої піраміди (рис.6.21).

Через пряму проводимо допоміжну фронтально-проекційну площину , яка перерізає призму по чотирикутнику 1234. Його горизонтальна проекція 1₁2₁3₁4₁ перетинається з горизонтальною проекцією прямої l₁ в точках К₁ і Т₁. Потім знаходимо фронтальні проекції К₂ і Т₂ за допомогою ліній проекційного зв’язку на l₂. Точки К(К₁,К₂) і Т(Т₁,Т₂) - шукані точки входу і виходу. Частина прямої, яка знаходиться між точками К і Т, проходить всередині піраміди (невидима).

Рисунок 6.21

6.8 Взаємний переріз багатогранників

Лінія взаємного перерізу багатогранників являє собою ламану лінію, кожна ланка якої є відрізком лінії перерізу граней першого і другого багатогранників.

Загальний план розв’язку задачі такий:

1. визначають ті ребра кожного із багатогранників, які не перетинають граней другого. Ці ребра, очевидно, не будуть брати участі в побудові;

2. визначають точки перетину ребер першого багатогранника з гранями другого;

3. визначають точки перетину ребер другого багатогранника з гранями першого;

4. з’єднують між собою знайдені точки (при цьому з’єднують ті з них, які лежать на одних і тих же гранях кожного із багатогранників).

В окремих випадках буває доцільно будувати лінії взаємного перерізу заданих багатогранників, як лінію перерізу двох площин. Таким чином, такі задачі зводяться до побудови точки перетину прямої з площиною, або ж до побудови лінії перерізу двох площин. Найбільш раціональний спосіб розв’язку для кожної конкретної задачі диктується умовою цієї задачі.

Задача 1. Побудувати лінію перерізу двох призм, одна з яких пряма, а друга похила (рис.6.22).

Н а кресленні видно, що ребра прямої призми не перетинають граней похилої призми, тому треба визначити точки перетину ребер s, l, t похилої призми з гранями прямої. Останні являють собою горизонтально-проекційні площини (сліди ₂ і ₁ однієї із граней зображено на рисунку 6.22). Тому горизонтальні проекції шуканих точок 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁ і 6₁ будуть лежати на перетині прямих s₁, t₁, l₁ зі сторонами трикутника – горизонтальною проекцією основи прямої призми. Фронтальні проекції 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂ і 6₂ шуканих точок будуть лежати на фронтальних проекціях ребер s₂, t₂, l₂ похилої призми. З’єднавши фронтальні проекції точок, які лежать на кожній грані прямої призми, одержимо два трикутники (1₂2₂3₂ і 4₂5₂6₂), які являють собою фронтальні проекції шуканої лінії перерізу двох призм. У даному випадку маємо дві замкнуті ламані лінії – лінія “входу” і “виходу” тому, що ребра похилої призми перетинають грані прямої.

Рисунок 6.22

Задача 2. Побудувати лінію перерізу двох призм - прямої та похилої (рис.6.23).

На рисунку 6.22 розв’язана подібна задача, але взаємне розміщення заданих призм дещо інше. У даній задачі (рис. 6.23) тільки одне ребро k прямої призми перетинає похилу призму, інші ребра не перетинають. Крім того, ребра l і s похилої призми перетинаються з гранями прямої призми, а ребро t не перетинається. Таким чином, два ребра n і m прямої призми і одне ребро t похилої призми далі не розглядаються. Точки 1, 3, 4 і 6 є точками перетину ребер l і s похилої призми з гранями прямої. Вони визначаються так само, як у попередній задачі.

Грані прямої призми являють собою горизонтально-проекційні площини. Тому визначаємо спочатку точки 1₁, 3₁, 4₁ і 6₁ , які лежать на перетині горизонтальних проекцій ребер l₁ і s₁ з гранями m₁к₁ і к₁n₁, а потім за лініями проекційного зв’язку на l₂ і s₂ знаходимо 1₂, 3₂, 4₂ і 6₂ (показано стрілками). Точки 2 і 5 (перетин ребра К прямої призми з гранями похилої) знаходимо таким чином: через ребро К проводимо горизонтально-проекційну площину , котра перерізає грані похилої призми по двох прямих, які проходять через точки А і В. Шукані точки 2 і 5 лежать на перетині цих ліній з ребром К. Порядок з’єднання точок зрозумілий із рисунка. Шукана лінія перерізу є замкнутою ламаною лінією.

Рисунок 6.23