6.6 Перетин багатогранника площиною загального положення

При перетині багатогранника площиною загального положення задача побудови лінії перерізу зводиться до визначення точок перетину прямих з площиною загального положення або до визначення ліній перетину площин загального положення. Це звичайно не складний, але трудомісткий процес. Доцільніше скористатися методом заміни площин проекцій, що є найбільш раціональним у даному разі методом перетворення проекцій.

Якщо заміну здійснити так, щоб січна площина стала проекційною і побудувати нову проекцію гранного тіла, то лінія перерізу зобразиться відрізком прямої, що співпадає з слід-проекцією січної площини.

Задача 1. Побудувати проекції перерізу похилої піраміди площиною загального положення  (рис.6.15).

Скористаємося заміною площин проекцій і перетворимо площину загального положення у фронтально-проекційну площину. Для цього нову вісь Х₁₄ проведемо перпендикулярно до сліду ₁. Виберемо довільну точку N₂ на фронтальному сліді площини  і побудуємо її положення в новій системі ₁-₄. Це буде точка N₄. Новий слід ₄, уже проекційної площини, пройде через _Х14 і точку N₄. Так само заміною площин проекцій побудуємо нову проекцію піраміди в системі ₁-₄.

Тепер задача зводиться до перетину багатогранника проеціюючою площиною. Матеріал висвітлений в підрозділі 6.4. Характерними точками лінії перерізу піраміди є точки перетину її ребер із січною площиною - 1₄, 2₄, 3₄. Проекції цих точок у заданій системі ₁-₄ знаходимо за допомогою ліній проекційного зв’язку. Точка 1 належить ребру SA, точка 2 – ребру SB, а точка 3 – ребру SC. При цьому слід стежити за тим, щоб координати проекцій кожної з точок лінії перерізу на допоміжній та на заміненій площинах проекцій були однаковими. Шукану лінію перерізу (ламану) будуємо з урахуванням видимості її частин на проекціях.

Рисунок 6.15

6.7 Перетин багатогранників прямими лініями

Результатом перетину багатогранника прямою лінією є дві точки – точка “входу” і “виходу” з нього.

Для того, щоб визначити ці точки необхідно:

1. Провести через дану пряму допоміжну проекційну площину;

2. Знайти фігуру перерізу цієї площини з багатогранником;

3. Знайти точки перетину прямої з фігурою перетину. Це будуть шукані точки.

На рисунку 6.16 пряма l перетинає чотирикутну піраміду в точках К і Т. Для того, щоб відшукати ці точки, потрібно пряму l спочатку заключити у проекційну площину  (l належить ). Далі знаходимо точки 1, 2, 3, 4 – як точки перетину площини  з ребрами піраміди. З’єднуємо ці точки і дістаємо лінії 1-2, 2-3, 3-4, 4-1, це - лінії перетину площини  з гранями піраміди. Ці лінії лежать в одній площині з прямою l і в перетині з нею дають шукані точки К і L, в яких ця пряма перетинає поверхню багатогранника.

В

Рисунок 6.16

Рисунок 6.17

окремих випадках, наприклад, коли багатогранник являє собою пряму призму, визначення точок входу і виходу не є складним. На рисунку 6.17 зображено пряму чотирикутну призму і пряму l. Щоб знайти точки К і Т, через пряму l проводимо фронтально-проекційну площину . Лінія перетину площини  з призмою на горизонтальній проекції співпаде із контуром призми, тому горизонтальні проекції К₁ і Т₁ точок перетину К і Т визначаються на перетині l₁ з цим контуром. Фронтальні проекції К₂ і Т₂ визначають звичайним способом по лініях проекційного зв’язку (показано стрілками). Відрізок КТ проходить всередині призми.

Н а рисунку 6.18 показано побудову точок перетину тригранної призми з прямою l. Ця пряма перетинає бічну грань призми в точці Т, знайденій так само, як на рис. 6.17. Однак, точка К перетинає не бічну грань, а верхню основу призми. Спочатку знайдемо К₂ - фронтальну проекцію точки К – на перетині фронтальної проекції l₂ з верхньою основою призми, яка є горизонтальною площиною. Горизонтальну проекцію К₁ побудуємо на лінії проекційного зв’язку, що проведена з точки К₂ на l₁ (показано стрілками).