6.3 Зображення багатогранників. Точка і пряма на поверхні багатогранника

Зображення багатогранника зводиться до зображення його ребер, тобто ліній перетину граней, і вершин – точок перетину ребер (рис. 6.6).

С укупність усіх ребер і вершин багатогранника є його сіткою. Найпростішим багатогранником є тетраедр, який має чотири грані. Щоб виконати на епюрі його зображення, необхідно задати проекції його чотирьох вершин і шести ребер, що сполучають вершини (рис. 6.6). Одночасно необхідно визначити видимість його ребер. Роблять це за допомогою конкуруючих точок. Щоб побудувати точку або пряму на поверхні багатогранника, необхідно виконати таку саму побудову на відповідній його грані, як це робиться при розв’язуванні подібних задач у площині, заданій плоскою фігурою.

Рисунок 6.6 - Зображення багатогранників

На рисунку 6.7 точка К (К₂;К₁) належить основі АВС призми АВСDEF, оскільки К₂ – фронтальна проекція точки лежить на фронтальній проекції А₂В₂С₂ основи призми. Точка L належить поверхні призми, а саме, бічній грані призми АСDE, оскільки лежить на прямій ЕТ, яка належить цій грані і проходить через дві точки цієї грані Е і Т. Точка Т лежить на СD, точка Е лежить на АЕ.

На рисунку 6.8 точка К належить грані SAB піраміди SABС, оскільки лежить на прямій SТ, яка в свою чергу належить цій грані, бо має з нею дві спільні точки S і Т.

Відрізок ЕF належить грані SBС, бо точки Е і F лежать відповідно на сторонах SB і SС цієї грані.

Рисунок 6.7 ― Точка і пряма на

Поверхні багатогранника

Рисунок 6.8

6.4 Переріз багатогранників площинами

Л

Метод ребер

1SA

2SC

3SB

Метод граней

12SAC

23SBC

13SAB

інії перетину багатогранника площиною визначаються за точками перетину ребер багатогранника з площиною, або за лініями перетину граней багатогранника з даною площиною. Перший шлях розв’язку називають методом ребер, другий методом граней (рис. 6.9).

Рисунок 6.9 ― Переріз багатогранника площиною

У першому випадку задача зводиться до визначення точки перетину прямої з площиною, у другому – до визначення лінії перетину площин. Якому із способів віддати перевагу, необхідно вирішувати у кожному конкретному випадку. Фігуру, отриману від перетину багатогранника площиною, називають багатокутником (фігурою) перерізу. Число сторін багатокутника перерізу дорівнює числу граней, які перетинаються січною площиною.

Фігура перерізу проеціюється на площину проекцій без спотворення (у справжню, дійсну величину), якщо січна площина паралельна площині проекцій. На рисунку 6.10 тригранна піраміда SABC перерізана горизонтальною площиною  (₂). Ця площина перетнула піраміду по трикутнику 123. Горизонтальна проекція фігури перерізу 1₁2₁3₁ є дійсною величиною фігури перерізу. Фронтальна проекція 1₂2₂3₂ виродилася в лінію, яка збіглася з фронтальним слідом площини ₂.

Рисунок 6.10 ― Переріз багатогранника горизонтальною площиною

При перетині поверхні багатогранника проекційною площиною задача зводиться, як правило, до визначення точок перетину відрізків прямих (ребер багатогранників) з проеціюючою площиною. Залежно від положення проекційної площини одна з проекцій багатогранника перерізу вироджується у відрізок прямої.

Задача 1. Побудувати дійсну величину перерізу похилої призми горизонтально-проекційною площиною  (рис.6.11).

При перетині багатогранника горизонтально-проекційною площиною у відрізок прямої вироджується горизонтальна проекція фігури перерізу. На рисунку 6.11 похилу призму перетнуто горизонтально-проекційною площиною  (₁). Тому горизонтальна проекція перерізу виродиться у відрізок 1₁3₁, який збігається з ₁. Точки 4₁ і 2₁ також лежать на цьому відрізку і співпадають з ₁ (точки перетину горизонтального сліду площини із ребрами призми).

А₁С₁₁=1₁

В₁С₁₁=4₁

А₁Е₁₁=2₁

В₁F₁₁=3₁

Ф ронтальні проекції точок 1, 2, 3, 4 знаходимо з умови належності їх відповідним ребрам призми. Точки 1, 4 лежать на основі трикутника АВС, тому по лінії проекційного зв’язку знаходимо фронтальні їх проекції 1₂, 4₂ на А₂В₂С₂. Точка 2 належить ребру АЕ, тому по лінії проекційного зв’язку піднімаємо її на А₂Е₂. Так само точка 3 належить ребру ВF і по лінії проекційного зв’язку піднімаємо її на В₂F₂. З’єднавши точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ з урахуванням видимості, одержимо фронтальну проекцію перерізу. Для знаходження дійсної величини перерізу використаємо спосіб заміни площин проекцій. Нову вісь Х₁₄ проведемо паралельно сліду ₁ на будь-якій відстані і спроеціюємо переріз у нову площину проекцій ₁₄. Дійсна величина перерізу ─ 1₄2₄3₄4₄.

Рисунок 6.11

Задача 2. Побудувати дійсну величину перерізу похилої піраміди фронтально-проекційною площиною  (рис.6.12).

При перетині багатогранника фронтально-проекційною площиною у відрізок прямої вироджується фронтальна проекція фігури перерізу. На рис. 6.12 похилу піраміду перерізано фронтально-проекційною площиною  (₂). Тому фронтальна проекція перерізу виродиться у відрізок 1₂4₂, який співпадає з ₂. Точки 2₂ і 3₂ також лежать на цьому відрізку і співпадають з ₂ (точки перетину фронтального сліду площини із ребрами піраміди).

S₂A₂₂=1₂

S₂B₂₂=2₂

S₂C₂₂=3₂

S₂D₂₂=4₂

Горизонтальні проекції точок 1, 2, 3, 4 знаходимо з умови належності їх відповідним ребрам піраміди SABCD. Точка 1 лежить на ребрі SA, точка 2 на ребрі SB і т.д., тому знаходимо їх горизонтальні проекції на відповідних горизонтальних проекціях ребер S₁A₁; S₁B₁ і т.д. Далі, з’єднавши точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ з урахуванням видимості, одержимо горизонтальну проекцію перерізу. Для знаходження дійсної величини перерізу використаємо спосіб плоско-паралельного переміщення. Для цього фронтальну проекцію перерізу 1₂2₂3₂4₂ розташуємо у горизонтальне положення 1₂′2₂′3₂′4₂′. Кожна точка, згідно з цим способом, переміщається в площині, паралельній до ₂ (показано стрілками). Отже горизонтальна проекція 1₁′2₁′3₁′4₁′ і є дійсною величиною перерізу.

Рисунок 6.12