5 Способи перетворення проекцій

Метричні й позиційні задачі на епюрі розв’язуються значно легше, якщо задані геометричні фігури займають особливе положення відносно площин проекцій. Так, при розміщенні трикутника або відрізка прямої паралельно до будь-якої площини вони спроеціюються на цю площину в дійсну величину.

Однак, здебільшого задані елементи займають загальне (довільне) положення відносно площин проекцій, тому такі елементи проеціюються на них із спотворенням. Для знаходження дійсної величини відрізка прямої загального положення за двома його проекціями відомим способом прямокутного трикутника необхідно зробити певні допоміжні побудови. Тому, щоб спростити розв’язування задач, часто доцільно вдатися до такого перетворення заданих проекцій на епюрі, яке дає змогу перетворити геометричні елементи із загального положення в особливе. У результаті цього нові проекції дозволяють просто й зручно виявити форму елементів, взаємне положення та дійсні величини прямих, фігур, кутів тощо.

Перетворення епюра відображає зміну положення геометричних образів або площин проекцій у просторі. В основному використовується два способи перетворення проекцій: заміна площин проекцій і обертання.

5.1 Спосіб заміни площин проекцій

Суть цього способу полягає в тому, що початкову систему площин проекцій ₂, ₁, у якій заданий геометричний образ займає загальне положення, замінюють іншою, новою системою площин проекцій так, щоб геометричний образ зайняв певне положення, що спростить розв’язування задачі. Положення самого образу в просторі залишається при цьому незмінним (рис.5.1, 5.2). Нові додаткові площини проекцій вводять так, щоб задані геометричні елементи зображалися на них у вигідному для конкретної задачі положенні. Цим зумовлюється заміна однієї або двох площин проекцій. Якщо замінити тільки одну площину проекцій, то зрозуміло, що система двох площин проекцій буде складатися з однієї площини проекцій початкової системи ₂, ₁ і однієї нової, додаткової площини проекцій ₄ або ₅ (рис. 5.1, 5.2).

Нехай у початковій системі площин проекцій ₂ - ₁ задана геометрична фігура у вигляді точки А (рис.5.1). Припустимо, що для розв’язування цієї задачі достатньо провести заміну однієї площини проекцій, наприклад, ₂ на ₄, перпендикулярну до ₁. Тоді в системі площин проекцій ₄ - ₁ з новою віссю Х₁₄, по якій площина ₄ перетинає ₁, виставляємо перпендикуляр через точку А до площини ₄ і, знайшовши нову проекцію А₂, зазначимо, що відстань А₂Ах₁₂=АА₁=А₄Ах₁₄=Z_A. При розв’язуванні деяких метричних чи позиційних задач виникає потреба у послідовній заміні обох площин проекцій і утворенні, таким чином, нових систем площин проекцій ₄ – ₅.

Рисунок 5.1 – Заміна фронтальної площини проекцій ₂ на горизонтально-проекційну ₄

Рисунок 5.2—Заміна горизонтальної площини проекцій ₁ на фронтально-проекційну ₅

З адача 1. Побудувати нові проекції відрізка АВ так, щоб він спроеціювався у точку (рис.5.3).

В

Рисунок 5.3

ідрізок стане проекційним тоді, коли він спроеціюється у точку. Цього можна досягти лише заміною двох площин проекцій, оскільки в початковій системі відрізок займає довільне положення. Отже, після першої заміни ₂ на ₄, надаємо відрізку положення, паралельне до фронтальної площини проекцій. ₄ вводимо так, щоб ₄  ₁ і нова вісь Х₁₄ була розміщена паралельно до А₁В₁. Після цього будуємо А₄В₄ ─ проводимо перпендикуляри з А₁ до Х₁₄, і з В₁ до Х₁₄. Відкладаємо на них від осі Х₁₄ Z_A і Z_B відповідно. Побудову показано стрілками і умовними позначками. А₄В₄ – дійсна величина відрізка АВ.

Далі робимо другу заміну площин проекцій, вводячи площину ₅ – замість ₁. При цьому нова вісь Х₄₅ має бути перпендикулярною до А₄В₄. Тоді нова фронтальна проекція відрізка в системі ₄ – ₅ буде точкою А₅=В₅, тобто відрізок АВ стане перпендикулярним до площини проекцій ₅ (побудова показана стрілками і умовними позначками).

Задача 2. Визначити дійсну величину трикутника АВС, який у системі ₂ - ₁ займає довільне положення (рис.5.4).

Відомо, що плоска фігура проеціюванняється в дійсну величину тоді, коли вона паралельна до будь-якої з площин проекцій. Однак розв’язати цю задачу заміною лише однієї площини проекцій неможливо.

Тому спочатку вводимо таку площину проекцій, до якої трикутник став би перпендикулярним, тобто спроеціювався у пряму. Потім проводимо заміну другої площини проекцій паралельно до площини трикутника АВС.

Щоб трикутник став перпендикулярним до нової площини проекцій, скористаємось однією з ліній особливого положення в трикутнику – горизонталлю h(h₂;h₁), яку для зручності проводимо через вершину трикутника С. Спочатку замінимо площину ₂ на ₄, перпендикулярну до ₁ так, щоб нова вісь проекцій Х₁₄ стала перпендикулярною до горизонтальної проекції горизонталі h. Побудувавши фронтальну проекцію трикутника в системі ₁-₄, бачимо, що вершини трикутника АВС лежать на одній прямій, це означає, що трикутник розмістився перпендикулярно до площини ₄, тобто він став фронтально-проекційним. Далі виконаємо другу заміну площин проекцій заміною площини ₁ на ₅, яка перпендикулярна до ₄ і так, щоб вона була паралельна до проекції трикутника А₄В₄С₄. Нарешті будуємо в системі ₄-₅ проекцію А₅В₅С₅ трикутника, яка і є його дійсною величиною. Побудову показано стрілками, а віддалі позначені умовними позначками.

Рисунок 5.4