Вероятность состояния

Структурный анализ и структурные преобразования в расчетах надежности

Сложность и трудность расчетов надежности объектов вызываются сложностью их структуры. Поэтому перед расчетом надежности, если это возможно, необходимо преобразовать структуру, сделать ее более простой и удобной для расчетов. Наиболее удобными структурами являются структуры, состоящие из последовательно или параллельно соединенных элементов

Преобразование структуры типа “треугольник” в структуру типа “звезда”

2

2

3

1

3

3

Чтобы “звезда” была эквивалентна “треугольнику”, необходимо обеспечить эквивалентность уравнений работоспособности “∆” и “ ” то есть следующее равенство:

; ; , (3.2)

где a,b,c,x,y,z-события, состоящие в том, что элементы находятся в РС состоянии.

Из (3.2) следует, что вероятности РС состояния цепей 1-2, 1-3, 2-3 должны быть равны как для “∆”, так и для “ ”

(3.3)

Для случая, когда P_a= P_b= P_c= P_r; P_x= P_y= P_z= P_з система уравнений (3.3) упрощается

,

где -вероятность безотказного состояния цепей 1-2, 1-3, 2-3.

Пример. Определить вероятность безотказного состояния мостиковой схемы (рис.3.5), если вероятность безотказного состояния каждого из ее элементов равна P=0,8

а) б)

Рис. 3.5

F_Л = Логическая функция

х Λ (yb ν zd)

Алгебраическая функция

F_А = х(yb+zd-ybzd)

Вероятность безотказного состояния мостиковой схемы равна

P=PX(Py Pb +PZ Pd –Py Pb Pz Pd)=0.91

0.96(0.96∙0.8+0.96∙0.8-0.96²∙0.8²)=0.91

Метод разложения сложной структуры по ключевым элементам

По этому методу сложная структура заменяется двумя более простыми структурами, такими, что сумма вероятностей РС состояний этих структур равна вероятности РС состояния исходной структуры. В основе метода положена формула разложения логического уравнения РС.

Пусть требуется разложить мостиковую схему (рис. 3.5 а) на две составляющие схемы. Примем в качестве «элемента разложения» элемент е. Предположим, что е в РС состоянии вместо е поставим жесткую связь. Схема преобразуется в схему

(рис 3.6 а), но к этой схеме необходимо последовательно присоединить элемент е, с тем, чтобы учесть, что вероятность полученной схемы равна вероятности РС состояния элемента е.

a)

б)

Рис. 3.6

Но элемент е может находиться в состоянии отказа. Тогда в исходной схеме его положения следует обозначить обрывом цепи. С учетом вероятности отказа элемента е получим схему (рис. 3.6 б). Схемы (рис. 3.6 а и б) - схемы заменяющие мостовую схему. Они значительно проще её по структуре.

Сформулируем общее правило разложения сложной структуры по ключевому элементу:

1. В исходной структуре выбирается элемент с наибольшим числом связей – элемент разложения- х.

2. В месте расположения элемента х делаем замыкание . Получается первая структура . В месте расположения элемента х в исходной схеме делается обрыв. Получается вторая структура.

3. Вероятность безотказного состояния первой структуры умножается на вероятность безотказного состояния элемента х. Получается значение вероятности Р₁.

Вероятность безотказного состояния второй структуры умножается на вероятность отказа элемента х. Получается вероятность Р₂.

4. Просуммировав вероятности Р₁ и Р₂, определяется вероятность безотказного состояния исходной структуры.

Пример : Определить вероятность безотказного состояния мостиковой схемы

( рис. 3.5 а), используя метод разложения схемы по ключевому элементу. Вероятность БО состояния каждого из элементов схемы равна 0,8 .

Элемент разложения – е.

Первая структура (рис. 3.6а)

Fл= e(a ν c)(b ν d)

Fа= e {(a+c-ac)(b+d-bd)}

P₁ = Pe {(P_а+Pс-PаPс)(Pb+Pd-PbPd)} =0,8{(0,8+0.8-0,8*0,8)(0,8+0,8-0,8*0,8)}=0,737

Вторая структура (рис.3.6б)

F_A= (1-e)(ab+cd-abcd)

P₂=(1-Pe)(PaPb+PcPd-PaPbPcPd)=(1-0,8)(0,8*0,8+0,8*0,8-0,8⁴)=0,174

P=P₁+P₂= 0,737+0,174=0,911.