Дополнение Обращение матрицы методом элементарных преобразований
Для вычисления матрицы , обратной матрице , можно, конечно, воспользоваться формулой (3.10).
Однако, как правило, значительно выгоднее использовать для этой цели метод полного исключения.
Это целесообразно ещё и потому, что все систем уравнений, служащих для определения столбцов матрицы , отличаются только правыми частями ( следующий раздел).
Поэтому процесс преобразования расширенных матриц этих систем можно проводить одновременно для всех матриц.
Пример.
Найти
матрицу,
обратную
матрице
.
▲ Рассмотрим матрицу
.
Первые три столбца этой матрицы – столбцы заданной матрицы , следующие три столбца (отделенные вертикальной чертой и составляющие вместе единичную матрицу) – столбцы свободных членов для систем уравнения, определяющих элементы обратной матрицы.
Над матрицей проведём элементарное преобразование.
Проводим обычные операции метода полного исключения:
.
Матрица, отделенная чертой, и есть искомая, т.к. каждый её
столбец есть решение соответственной системы уравнений, т.е.
.
▼
Вопросы для самопроверки
1. Что называется рангом матрицы?
2. Сформулируйте утверждения, которые вытекают из определения ранга матрицы.
3. Каковы свойства ранга матрицы?
4. Что такое особенная (неособенная) матрица?
5. Сформулируйте свойства ранга матрицы.
6. Что такое линейная комбинация столбцов матрицы?
7. Когда столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми (линейно независимыми)?
8. Что такое базисный минор матрицы? Какие строки и столбцы матрицы называются базисными?
9. Сформулируйте теорему о базисном миноре матрицы.
10. Сформулируйте предложения, которые вытекают из теоремы о базисном миноре.
11. Перечислите элементарные преобразования матрицы.
12. Сформулируйте теорему о ранге матрицы при элементарных преобразованиях этой матрицы.
13. Какая квадратная матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице ?
14. Что такое присоединенная матрица?
15. В чем заключается необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы?
16. Сформулируйте теорему о единственности обратной матрицы.
17. Каковы свойства обратной матрицы?
18. Каков алгоритм вычисления обратной матрицы?
19. Показать, что в общем
случае
(на примере).
20. Используя соотношение , вычислить обратные матрицы для следующих матриц:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.