3.4. Элементарные преобразования матрицы

Способ нахождения ранга матрицы, указанный выше, не всегда бывает удобным, т.к. во многих случаях связан с вычислениями большого количества определителей.

Другим простым способом вычисления ранга матрицы является метод Гаусса, основанный на так называемых элементарных преобразованиях, выполняемых над матрицей.

О пределение. Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк;

1), 2), 3) – аналогичные операции над столбцами.

Применяя к матрице какое-либо элементарное преобразование, получаем новую матрицу .

Это факт мы будем записывать так: .

Элементарные преобразования обратимы, т.е.

если матрица получается из матрицы при помощи какого-либо элементарного преобразования,

то и матрица может быть получена из матрицы также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).

Теорема 3.2. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется.

Другими словами, если , то .

▲ 1) Предположим, что получается из матрицы умножением строки на число .

Рассмотрим в матрицах и одинаковым образом составленные миноры (некоторого порядка ).

Матрицы и отличаются только элементами строки.

Поэтому

• , если строка не входит в состав миноров,

• и , если входит.

Отсюда следует (поскольку ), что определители

• либо одновременно отличны от нуля,

• либо одновременно равны нулю.

Но в таком случае наибольший порядок не равного нулю минора для обеих матриц будет один и тот же, т.е. .

2) Пусть к элементам строки матрицы прибавляются соответствующие элементы строки, умноженные на число .

Указанное преобразование можно выполнить в два приема:

сначала добавить к матрице новую строку с элементами , вставив её после строки,

затем из полученной матрицы вычеркнуть строку.

При первой операции ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы в силу предложения 2.11, а при второй операции – в силу предложения 2.12.

3) Преобразование очевидно, т.к. перестановка двух строк матрицы не нарушает никаких линейных зависимостей между её строками. ▼

Доказанная теорема может быть с пользой применена к вычислению ранга.

А именно, если при помощи нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований мы перешли от матрицы к некоторой другой матрице , то согласно теореме 3.2.

Вычислив ранг , мы тем самым будем знать и ранг .

Оказывается, что, отправляясь от любой матрицы , всегда можно прийти к такой матрице , вычисление ранга которой не представляет затруднений.

Для этого следует добиться, чтобы в матрице было достаточно много нулей.

Учитывая, что ранг не меняется при элементарных преобразованиях, имеем .

Метод Гаусса

Вычисление ранга матрицы методом Гаусса заключается в том, что при помощи элементарных преобразований мы можем привести данную матрицу к виду

,

где все диагональные элементы отличны от нуля, а элементы других строк, расположенных ниже диагональных, равны нулю.

Матрицу такого вида мы будем называть трапециевидной.

Частным случаем трапециевидной матрицы является треугольная матрица.

Очевидно, что ранг трапециевидной матрицы равен , т.к. имеется минор порядка, не равный нулю:

.

Покажем на примерах алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

П ример. Найти ранг матрицы .

▲ Произведем следующие элементарные преобразования над матрицей .

Путем умножения элементов строк на числа и сложения их с соответствующими элементами других строк добьемся, чтобы все элементы первого столбца, кроме первого, были бы нулями.

• Первую строку оставим без изменения,

• вторую строку сложим с первой, умноженной на (–2),

• третью строку сложим с первой, умноженной на (–1),

• и, наконец, четвертую строку сложим с первой, умноженной на 2.

Получим

.

Применим теперь элементарные преобразования таким образом, чтобы в матрице все элементы второго столбца, кроме первых двух, были бы нулями.

Один нуль там уже имеется, поэтому, сложив четвертую строку со второй, умноженной на два, получим

.

Оставив, наконец, три строки матрицы без изменения и сложив четвертую строку с третьей, умноженной на (–1), получим

.

Очевидно, что ранг матрицы равен трём, т.к. минор третьего порядка

,

а все миноры четвертого порядка, окаймляющие минор , равны нулю.

На основании теоремы 3.2 заключаем, что . ▼

П ример. Найти ранг матрицы .

▲ Если , то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что .

В данном примере поменяем местами, например, первую и вторую строки матрицы.

.

Если , то, умножая элементы первой строки на подходящие числа (именно на ) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам второй (в данном примере , поэтому вторая строка не меняется), третьей и четвертой строк, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца (кроме элемента ) равнялись нулю:

.

Если в полученной матрице (у нас ), то, умножая элементы второй строки на подходящие числа (а именно ), добьемся того, чтобы все элементы второго столбца (кроме элементов ) равнялись нулю.

Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы) целиком, состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (столбцы)

Последняя матрица имеет трапециевидный вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю.

Например, .

Поэтому ранг полученной трапециевидной, а, следовательно, и данной матрицы равен 2. ▼