Веретенников

Валентин Николаевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Ρ Г Γ М У

Санкт-Петербург

2014

3. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

3.1. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу типа .

Выберем в этой матрице произвольно строк и столбцов, где

;

здесь из двух чисел .

Элементы, принадлежащие выбранным строкам и столбцам, образуют квадратную матрицу порядка , поэтому имеет смысл говорить о её определителе.

О пределитель этой матрицы называется минором порядка исходной матрицы.

С понятием минора матрицы мы уже встречались в разделе 2 (ОПРЕДЕЛИТЕЛИ), но там мы рассматривали лишь случай квадратной матрицы.

Здесь же мы ввели понятие минора для произвольных прямоугольных матриц.

При порядке под минором 1-го порядка мы понимаем, разумеется, элемент матрицы .

Из строк мы можем выбрать (число сочетаний из элементов ) различными способами строк.

Аналогично из столбцов можно выбрать различными способами столбцов.

Следовательно, в матрице строками и столбцами мы имеем различным образом составленных миноров порядка.

Замечание. Число всех различных сочетаний равно

.

Д ля матрицы

можно составить: 18 миноров 2-го порядка

;

например,

и т.д.;

четыре минора третьего порядка ;

например,

и т.д.

Можно доказать следующие свойства миноров матрицы.

1. Если в матрице все миноры порядка равны нулю,

то равны нулю и все миноры более высокого порядка (если таковые существуют).

▲ Возьмём в матрице произвольный минор порядка. Он равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения.

Но алгебраическое дополнение любого элемента нашего минора с точностью до знака ( формулу (2.11) раздела «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ») равно некоторому минору порядка матрицы .

Т.к. все миноры порядка матрицы по условию равны нулю, то равны нулю рассматриваемые алгебраические дополнения и, далее, равен нулю выбранный минор порядка.

Итак, все миноры порядка матрицы равны нулю.

Аналогично докажем, что все миноры порядка матрицы также равны нулю и т.д. ▼

2. Если минор порядка не равен нулю, а все миноры порядка, полученные окаймлением этого минора, равны нулю, то и все миноры порядка равны нулю.

М инором, окаймляющим минор порядка матрицы , называют минор порядка этой матрицы, содержащий минор .

В теории систем линейных уравнений существенную роль играет понятие ранга матрицы.

О пределение 1. Рангом матрицы называется такое целое число , что среди миноров порядка матрицы имеется хоть один, не равный нулю, а все миноры порядка (если только их можно составить) сплошь равны нулю.

Ранг матрицы обозначают одним из символов: .

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы считается равным нулю (здесь равны нулю миноры всех порядков).

О пределение 2. Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

1) ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между нулем и меньшим из чисел , т.е. .

2) ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица является нулевой;

3) для квадратной матрицы порядка тогда и только тогда, когда матрица является невырожденной.

О пределение. Квадратная матрица порядка называется особенной (вырожденной), если её определитель равен нулю.

Если же , то называется неособенной (невырожденной) матрицей.

Отметим некоторые очевидные свойства ранга матрицы:

1) ранг матрицы, полученный из данной матрицы транспонированием, равен рангу исходной матрицы ;

2) ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (столбец), все элементы которой равны нулю.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров.

Итак, ранг матрицы может быть найден следующим образом.

• Если все миноры 1-го порядка (элементы матрицы) равны нулю, то .

• Если хотя бы один из миноров 1-го порядка отличен от нуля, а все миноры 2-го порядка равны нулю, то .

• В случае, когда имеется минор 2-го порядка, отличный от нуля, исследуют миноры 3-го порядка.

• Так поступают до тех пор, пока не обнаружится одно из двух:

• либо все миноры порядка равны нулю,

• либо миноры порядка не существуют, тогда .

П римеры.

1. имеет ранг , поскольку .

2. имеет ранг , поскольку , но существуют определители порядка 1 (скажем ), отличные от нуля.

3. имеет ранг , поскольку все элементы матрицы равны нулю.

4 . , имеет ранг , поскольку , но существуют определители порядка 2, которые не равны нулю.

5 . Найти ранг матрицы .

▲ Данная матрица имеет размеры , т.е. .

И з элементов матрицы можно составить миноры 2-го порядка; минорами 1-го порядка являются элементы матрицы.

Поскольку все миноры 2-го порядка равны нулю, но имеется минор 1-го порядка, отличный от нуля , то ранг матрицы равен единице, . ▼

6 . Найти ранг матрицы .

▲ Среди миноров 2-го порядка этой матрицы имеется один минор, отличный от нуля: .

Все миноры 3-го порядка равны нулю.

Следовательно, ранг данной матрицы равен двум, т.е. . ▼

7 . Определить ранг матрицы .

▲ Данная матрица имеет размеры , т.е. .

Минорами 1-го порядка являются элементы матрицы, отличные от нуля.

Имеется минор 2-го порядка , не равный нулю.

Вычислим все миноры 3-го порядка:

.

Ранг матрицы равен двум, т.е. . ▼

Нахождение ранга матрицы, как это следует из его определения, требует вычисления большого числа миноров (т.е. определителей различных порядков) матрицы.

Однако этот процесс можно упростить: вычисляя ранг матрицы, гораздо удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

Если найден минор порядка, отличный от нуля, то при следующем шаге нужно вычислять миноры порядка, окаймляющие прежний минор (свойство 2 миноров матрицы).

Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

П ример 8. Вычислить ранг матрицы .

▲ Минор первого порядка не равен нулю.

Рассмотрим миноры 2-го порядка, окаймляющие этот минор:

.

Мы нашли минор 2-го порядка, не равный нулю.

Составляем миноры 3-го порядка, окаймляющие отличный от нуля минор 2-го порядка.

Для этого добавим к минору третью строку и третий столбец:

.

Заменим третий столбец четвертым:

.

В миноре заменим третью строку четвертой:

.

В миноре заменим третий столбец четвертым:

.

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие минор 2-го порядка, равны нулю.

А это значит, что . ▼