2.4. Определение определителя порядка

Чтобы подметить общее правило составления определителей матриц порядка, присмотримся внимательнее к определителям 2-го и 3-го порядков.

Отвлекаясь пока от знака, поставим вопрос: чем характеризуются произведения, входящие в состав определителя?

1. Прежде всего, замечаем, что число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы.

2. Далее, если обратимся к какому-нибудь конкретному произведению, то увидим, что в нём сомножители взяты по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца.

3. Число различных произведений, из которых строится определитель матрицы , равно числу всех перестановок

( для определителя 2-го порядка),

( для определителя 3-го порядка),

т.е. равно

( число произведений для определителя 2-го порядка) и

( число произведений для определителя 3-го порядка).

Так обстоит дело для определителей 2-го и 3-го порядков, и в этом мы убеждаемся, анализируя определения первого раздела.

Естественно предположить, что мы получим разумное определение определителя порядка, если в его основу положим эту подмеченную закономерность.

О пределение 1 (предварительное). Определителем матрицы порядка называется

• сумма всех произведений элементов этой матрицы, взятых

• по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца;

• при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по некоторому правилу.

П редполагая, что есть матрица 4-го порядка, рассмотрим несколько примеров.

1. Произведения и не входят в определитель матрицы , т.к. число сомножителей в них не равно порядку матрицы.

2. Произведение также не входит в определитель, т.к. два сомножителя, и , принадлежат одному и тому же (второму) столбцу.

3. Произведения и содержат множители по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, – следовательно, они входят в состав определителя.

Замечание. Говоря об определителе матрицы, мы до сих пор предполагали, что порядок матрицы .

Ясно, что вполне допустимо рассматривать таблицу, состоящую лишь из одного числа, т.е. квадратную матрицу 1-го порядка. Применив определение определителя к этому случаю, мы легко увидим, что если , то , т.е. определитель матрицы 1-го порядка равен (единственному) элементу этой матрицы.

О пределение 2. Определителем матрицы порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

. (2.15)

Формула (2.15) выражает правило составления определителя порядка по элементам первой строки соответствующей матрицы и по алгебраическим дополнениям этих элементов, являющимся определителями порядка, взятыми с надлежащими знаками.

Из формулы (2.15)

• получаем формулу (2.4) (по определению),

• – формулу (2.12) (по теореме разложения).

Правило (2.15) дает возможность свести

• вычисления определителей матриц 4-го порядка к вычислению определителей матриц 3-го порядка,

• вычисление определителей матриц 5-го порядка к вычислению определителей матриц 4-го порядка и т.д.

Естественно, возникает вопрос,

• нельзя ли использовать для получения величины определителя элементы и соответствующие им миноры не первой, а любой строки матрицы,

• а также вопрос о разложении определителя по элементам любого столбца.

Ответ на эти вопросы дают две основные теоремы, приводимые здесь без доказательств.

Теорема 2.5. Каков бы ни был номер строки для определителя порядка справедлива формула

,

называемая разложением этого определителя по строке.

Теорема 2.6. Каков бы ни был номер столбца для определителя порядка справедлива формула

,

называемая разложением этого определителя по столбцу.

Отметим, что для определителей порядка также верны теоремы замещения и аннулирования.

Определители порядка обладают теми же свойствами, что и определители 2-го и 3-го порядков.