2.2. Свойства определителей

Вычисление определителей значительно облегчается, если пользоваться их свойствами.

Будем излагать свойства определителей на примере определителей третьего порядка.

Свойство 1. (Определитель транспонированной матрицы)

П ри транспонировании определитель матрицы не меняется.

Другими словами, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Это означает, что строки и столбцы определителя равноправны.

▲ Заменив в определителе (2.8) каждую строку столбцом с тем же номером, получим новый определитель

Сравнивая это равенство с равенством (2.8), заключаем, что определители равны, т.к. равны правые части указанных равенств. ▼

Свойство 2. (Антисимметричность (перестановка двух строк))

П ри перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

▲ В определителе (2.8) переставим, например, второй и третий столбцы.

Тогда

Алгебраическая сумма в скобке равна правой части формулы (2.8),

новый определитель отличается от исходного определителя

только знаком.

Другие случаи рассматриваются аналогично. ▼

Свойство 3

О пределитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

▲ Определитель (2.8) обозначим через символ .

Пусть он содержит два одинаковых столбца.

.

Переставив эти столбцы, получим тот же определитель .

С другой стороны, по свойству 2 определитель изменит знак, т.е.

, откуда . ▼

Свойство 4

Е сли все элементы некоторой строки (столбца) определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.

▲ В самом деле, в каждое произведение алгебраической суммы в правой части (2.8) входит один элемент строки (столбца), состоящей из нулей.

Поэтому все слагаемые, из которых состоит определитель, будут равны нулю. ▼

Свойство 5. (Вынесение общего множителя)

М ножитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно выносить за знак определителя.

▲ Пусть в определителе (2.8) элементы второго столбца имеют общий множитель .

Тогда

,

т.к.

.

Аналогично рассматриваются случаи, когда общий множитель имеют элементы 1-го или 3-го столбца, а также элементы любой строки. ▼

Следствие. Если квадратная матрица порядка и – вещественное число, то определитель матрицы есть ;

иначе говоря,

.

▲ В этом случае является сомножителем каждой из строк (столбцов) матрицы .

Если вынести из каждой строки (столбца) определителя, то остается . ▼

Свойство 6

О пределитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца) равен нулю.

▲ Действительно, выделяя общий множитель элементов (коэффициент пропорциональности) одной из этих строк (столбцов) и вынося его за знак определителя, получаем определитель с двумя одинаковыми столбцами, равный нулю. ▼

Свойство 7

Е сли все элементы строки ( столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы),

• кроме строки ( столбца), те же, что и у данного определителя,

• строка ( столбец) одного определителя состоит из первых слагаемых элементов строки ( столбца) данного определителя,

• а строка ( столбец) другого определителя – из вторых слагаемых элементов строки ( столбца).

Доказать самостоятельно.