Ассоциативность

Теорема. Если и «согласованные», то умножение матриц ассоциативно, т.е.

.

Докажите закон ассоциативности самостоятельно.

Т.к. выполняется закон ассоциативности, использование скобок при умножении матриц необязательно:

.

Закон ассоциативности может быть распространен на умножение любого конечного числа матриц, если они в данной последовательности являются согласованными:

.

Если матрица квадратная, то может быть образовано произведение из сомножителей .

О пределение степенью квадратной матрицы называется произведение из сомножителей, .

Учитывая известные правила действий над степенями для вещественных чисел, получаем

.

О пределение. .

П ример. Дана матрица .

Нужно рассчитать .

▲ ;

;

;

;

с другой стороны, можно рассчитать и как произведение :

. ▼

Дистрибутивность

Теорема. Если матрицы одинакового типа и матрица согласована с , то

.

▲ .

Распишем элемент :

.

В матричной записи это означает . ▼

П ример. Даны матрицы

.

▲ Вычислим

и

Полученные результаты, естественно, совпадают. ▼

Теорема. Если матрицы одинакового типа, и матрицы согласованы с , то

Доказательство провести самостоятельно аналогично доказательству теоремы.

Дополнение

После того как определена операция умножения матриц и установлены её свойства, можно ввести новое алгебраическое понятие: кольцо квадратных матриц одинакового порядка.

Кольцом называется множество, для которого:

• определены операции сложения и умножения элементов;

• сложение ассоциативно и коммутативно,

• сложение обратимо,

• умножение ассоциативно и дистрибутивно.

Множество квадратных матриц одинакового порядка, элементами которых являются вещественные числа, удовлетворяет этим условиям.

Т.к. закон коммутативности умножения не выполняется, кольцо матриц не коммутативно.

Оно обладает делителями нуля.

Единичная матрица является однозначно определенным нейтральным элементом умножения.

Кольцом является также множество целых чисел, однако это кольцо коммутативно.

Резюме

Умножение матриц возможно, если матрицы являются «согласованными».

Элементы матрицы-произведения вычисляют по следующему правилу: чтобы получить элемент, стоящий в строке и столбце произведения двух матриц, нужно элементы строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы (т.е. имеющие одинаковые двойные индексы) столбца второй и полученные произведения сложить.

При умножении матрицы типа на матрицу типа получается матрица типа .

Умножение матриц ассоциативно и дистрибутивно, но не коммутативно.

Множество матриц одинакового порядка образует кольцо.

1.4. Транспонирование матрицы

О пределение. Транспонированием матрицы называется такое

преобразование матрицы, при котором каждая её строка становится столбцом с тем же номером.

В результате транспонирования матрицы получается матрица, называемая транспонированной по отношению к данной матрице.

Обозначение: .

Таким образом,

если , то .

Подчеркнем,

• что элемент матрицы , находящийся в позиции ,

• совпадает с элементом матрицы , находящимся в позиции .

При транспонировании

• строки матрицы переходят в столбцы матрицы ,

• а столбцы – в строки.

Таким образом,

• если у матрицы строк и столбцов,

• то у транспонированной матрицы строк и столбцов.

При транспонировании, как видим, меняется строение матрицы (если ), а именно:

если то .

Н апример, если

,

то

.

П ример. Найти матрицу, транспонированную по отношению к матрице .

▲ В соответствии с определением транспонирования матрицы получаем

. ▼

В случае квадратной матрицы транспонирование представляет собой зеркальное отражение элементов относительно главной диагонали.

П ример. Найти матрицу, транспонированную по отношению

к квадратной матрице .

▲ В соответствии с определением транспонированная матрица выглядит так:

. ▼