Специальные случаи
1.
.
2. Уравнение
имеет решение
.
–
элементы одного
множества матриц
.
Нулевая матрица является нейтральным элементом этого множества относительно сложения.
3.
Уравнение
имеет решение
.
Оно называется матрицей, противоположной ,
и
обозначается
:
.
Для неё имеет место равенство:
.
После введения
противоположной матрицы
вычитание матриц
одинакового типа может
быть сведено к сложению следующим
образом:
.
Дополнение
Перечислим все рассмотренные выше свойства операции сложения матриц:
1. Сложение матриц их множества однозначно определено.
При сложении всегда получается матрица того же типа:
.
2. Сложение матриц ассоциативно, т.е.
.
3. Сложение матриц обратимо.
Для любых матриц
уравнение
решается однозначно.
Нейтральным элементом для сложения матриц является нулевая матрица.
Противоположной для матрицы является матрица .
4. Сложение матриц коммутативно, т.е.
.
Этими свойствами характеризуется более широкая, чем числовое поле (смотри дополнение 1), алгебраическая структура, называемая «модулем» (аддитивной абелевой группой).
Примерами модулей являются:
множество целых чисел относительно сложения;
множество рациональных чисел относительно сложения;
множество вещественных чисел относительно сложения.
Умножение матрицы на вещественное число
О
пределение.
Произведением матрицы
на число
называется матрица,
элементы которой получаются
из соответствующих
элементов матрицы
путем умножения их на
число
.
Обозначение:
.
Таким образом, если
,
то
.
Краткая
запись: 
.
При умножении матрицы на число её тип сохраняется.
П
ример.
Дана матрица
и вещественное число
.
Тогда
.
Умножение матрицы на вещественные числа имеет следующие свойства:
1.
.
2.
.
3.
.
Истинность
утверждений 1, 2 и 3 устанавливается
непосредственно, т.к. каждый
элемент матрицы
умножается на 1, 0 или
соответственно.
4.
– ассоциативность.
▲ 
– иная запись матрицы
;
– по определению умножения
матрицы на вещественное число
(наружные скобки обозначают матрицу);
– в силу ассоциативности
умножения вещественных чисел
(наружные скобки обозначают матрицу);
– по определению
умножения
матрицы на вещественное число;
– по определению
умножения
матрицы на вещественное число
(внутренние скобки
обозначают
матрицу);
.
▼
5.
– дистрибутивность.
6.
– дистрибутивность.
Утверждения 5 и 6 доказать самостоятельно.
Резюме
Для матриц, принадлежащих одному и тому же множеству , может быть введено отношение равенства.
На множестве матриц одинакового типа может быть введена операция сложения.
Множество матриц одинакового типа образуют относительно сложения модуль.
Для сложения матриц выполняются закон коммутативности и ассоциативности.
Умножение матрицы на вещественное число состоит в умножении каждого элемента матрицы на это число.
Для умножения матрицы на вещественное число выполняются закон ассоциативности и два закона дистрибутивности.
