Равенство матриц
О
пределение.
Две матрицы
и
называются равными:
1) если они одинакового
типа, т.е.
,
(если число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы );
2) их соответствующие
(имеющие одинаковые двойные индексы)
элементы равны, т.е.
.
Обозначение:
.
П
римеры.
1.
,
т.к.
.
2. Пусть
.
Эти матрицы не могут быть равными, т.к. они разного типа.
3. Даны две матрицы
.
,
т.к. тип матрицы
равен типу матрицы
и
.
Матричному
равенству
,
где
и
,
соответствуют
скалярных равенств
.
Дополнение
Равенство – это отношение эквивалентности, которое характеризуется следующими свойствами: рефлексивностью, симметричностью, транзитивностью.
Действительно, по определению равенства матриц:
каждая матрица равна сама себе,
(рефлексивность);если , то
(симметричность);если
– матрицы одного типа,
то
следует, что
(транзитивность).
Собственно, только после установления этих свойств можно с полным основанием называть введенное отношение между матрицами равенством.
В предыдущем разделе было выработано понятие матрицы и определено равенство матриц.
Следующим шагом должно быть введение вычислительных операций для новой математической конструкции «матрица».
Линейными действиями над матрицами называются
сложение и вычитание матриц,
умножение матрицы на число.
Сложение матриц
О
пределение.
Суммой двух матриц
и
одинакового типа
называется матрица
того же типа,
элементы которой
вычисляются по формуле
Обозначение:
.
Таким образом, если
,
то
.
Подчеркнем ещё раз, что складывать можно только матрицы
с одинаковым числом строк
и с одинаковым числом столбцов.
Выразим этот факт схематически:
+ =
П
ример.
1.
2
.Матрицы
и
сложить нельзя, т.к. они
содержат различное число столбцов.
Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинакового типа.
Исследуем свойства сложения матриц одинакового типа
Теорема. Сложение матриц коммутативно:
.
▲
– по определению сложения матриц;
– сложение вещественных чисел
коммутативно;
– по определению сложения матриц;
.
Таким образом, , что и требовалось доказать. ▼
Теорема. Сложение матриц ассоциативно:
.
Докажите теорему 2 самостоятельно.
Закон ассоциативности может быть распространен на сложение любого количества матриц одинакового типа.
Разность матриц
Вычитание для матриц (как и для чисел) определяется как действие, обратное сложению.
О
пределение.
Разностью
матриц
одинакового типа
называется такая матрица
,
что
.
Обозначение:
.
Итак, существует единственное решение уравнения .
Оно
обозначается
.
Таким образом, введена операция, обратная к сложению матриц.
По аналогии с операцией, обратной сложению вещественных чисел, назовём её вычитанием матриц.
Легко видеть, что матрица , удовлетворяющая этому условию, всегда существует, и притом только одна.
Её элементы
определяются равенствами
.
Таким образом, при вычитании матриц вычитаются соответствующие элементы этих матриц, т.е. если
,
то
.
П
ример.
.