Дополнение 1

Поскольку в данном пособии элементы матриц представляют собой вещественные числа, полезно, особенно для доказательств, привести здесь основные законы арифметики вещественных чисел.

Если – вещественные числа, то

1) любым вещественным числам посредством операции сложения может быть поставлено в соответствие единственное вещественное число, обозначаемое и называемое «сумма» ;

2) для сложения выполняется закон коммутативности

;

3) для сложения выполняется закон ассоциативности:

;

4) число 0 является нейтральным элементом множества вещественных чисел относительно сложения

;

5) уравнение имеет единственное решение в области вещественных чисел.

Оно обозначается и называется «разность» ;

6) любым двум вещественным числам посредством операции умножения ставится в соответствие единственное вещественное число, обозначаемое и называемое «произведение» ;

7) для умножения выполняется закон коммутативности

;

8) для умножения выполняется закон ассоциативности

;

9) число 1 является нейтральным элементом множества вещественных чисел относительно умножения

;

10) уравнение при значении имеет единственное решение в области вещественных чисел, оно обозначается и называется «частное» ;

11) выполняется закон дистрибутивности

.

Если числовое множество содержит, по меньшей мере, два элемента, для которых определены операции сложения и умножения, и выполняются одиннадцать перечисленных выше законов, то говорят, что «это числовое множество образует поле».

Итак, множество вещественных чисел является полем относительно определенных обычным способом операций сложения и умножения.

Поле – одна из алгебраических структур.

Такие структуры характерны для современной математики.

Если дано множество элементов и на нем определены некоторые операции, то на нём задана определенная структура.

Говорят также, что «множество структурировано».

Преимущество такого подхода состоит в том, что все выводы, полученные для абстрактной структуры, могут быть перенесены на любое множество такой же структуры.

Резюме

М атрица определяется как таблица, состоящая из строк и столбцов.

В данном пособии во всех случаях, когда не оговорено противное положение, рассматриваются матрицы, элементами которых являются вещественные числа.

В данной книге для матриц употребляются общепринятые международные обозначения.

Тип матриц определяется количеством строк и столбцов.

Матрицы типа образуют множество .

Векторы могут рассматриваться как матрицы с одним столбцом или с одной строкой.

1.2. Линейные действия над матрицами в обычном курсе, после введения понятия «дробное число» на множестве дробных чисел вводятся отношения и операции с тем, чтобы «работать» с этими числами.

Следует и на множестве матриц определить такого же рода отношения и операции для того, чтобы иметь возможность производить вычисления с применением новой конструкции «матрица».

Построим матричное исчисление, которое охватывает совокупность определений и законы, определяющие отношение равенства и вычислительные операции с матрицами.

Как и при построении числовых областей, нужно, прежде всего, исследовать, возможно, ли установить для матриц отношение порядка.

Случай, когда все или некоторые определенные элементы некоторой матрицы, , меньше соответствующих элементов другой матрицы, в нашем контексте не представляет интереса, поэтому не будем вводить для матриц отношения «больше» и «меньше».

Напротив, понятие равенства для матриц должно быть определено.