Вопросы для самопроверки
1. Что называется матрицей?
2. Какая матрица называется единичной, квадратной, транспонированной?
3. Сколько элементов содержится в матрице n-го порядка?
4. В некоторой матрице 36 элементов. Каких типов она может быть?
5. В некоторой матрице 11 элементов. Каких типов она может быть?
6. Дана квадратная
матрица A с элементами
.
Сколько элементов расположено: а) над главной диагональю; б) на ней; в) под ней?
7. Сколько элементов в квадратной матрице n-го порядка расположено над главной диагональю?
8. Постройте матрицы
типа
,
элементы которых
определяются по формулам: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Симметрично ли расположены элементы этих матриц относительно главной диагонали?
9. Докажите теорему: след суммы двух матриц равен сумме следов этих матриц.
10. Является ли сумма матриц симметрической, если слагаемые – симметрические? Дайте обоснованный ответ.
11. Как определяются линейные операции над матрицами?
12. Как сложить две матрицы и всегда ли это можно сделать?
13. Если сложение матриц определено, сложить матрицы A и B в следующих случаях:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
14. Пусть
и
.
Показать непосредственным вычислением
сумм, что
.
15. Пусть матрицы
типа
.
Показать непосредственным вычислением
сумм, что
.
16. Как умножить матрицу на число?
17. Каковы свойства линейных операций над матрицами?
18. Как умножить матрицу на матрицу? Всегда ли это выполнимо?
19. Каковы свойства произведения матриц?
20. Выяснить, имеет ли смысл закон коммутативности для прямоугольных матриц. Исследование провести на числовом примере.
21. Выяснить, имеет ли место коммутативность при умножении квадратных матриц одного и того же порядка.
22. Найти произведения
и
(если они определены):
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
23. Показать непосредственным вычислением, что
,
когда
.
24.Даны диагональные
матрицы
.
Записать произведения
и
.
Что верно для произведений матриц
и
?
25. Доказать, что если операции определены, всегда справедливо
.
26. Даны матрицы
.
Предполагая, что все операции определены,
доказать, исходя из определения умножения,
что
.
При каких обстоятельствах все операции определены?
27. Даны матрицы
.
При каких условиях выполняются следующие равенства:
а)
;
б)
?