Лабораторная работа 2

Тема: Линейные системы. Фундаментальная система решений. Применения теоремы Кронекера-Капелли.

Цель: оказание студентам помощи в овладении навыками решения задач, отражающих тематику данной лабораторной работы; научить студентов исследовать СЛАУ, применяя теорему Кронекера-Капелли, и находить фундаментальную систему решения.

Теоретическое обоснование Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

(1)

где ( ) – произвольные числа называющиеся коэффициентами при переменных, а – свободными членами уравнений.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной.

Решением системы называется такая совокупность чисел , , …, , при подстановке которых данное уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

Совместная система называется определённой, если она имеет един­ственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного ре­шения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквива­лентными, если они имеют одно в тоже множество решения. С помо­щью элементарных преобразований системы уравнений (например, ум­ножение обеих частей уравнения на числа не равные нулю; сложение уравнений системы) получается система равносильная данной.

Теорема (Кронекера - Капелли):

Для того чтобы система (1) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных была совместна (имела решение), необходи­мо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы (А) системы и ранг

расширенной матрицы (А, В) системы (1) были равны, т. е. .

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы, – выяснить определена она или нет. При этом возможны три варианта:

1. Если , то система несовместна.

2. Если (где – число переменных), то система совместна и определена.

3. Если , то система совместна и неопределенна.

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.

Пусть дана однородная система линейных уравнений:

(2)

или в матичной форме .

Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное решение . однородная система неопределенна тогда и только тогда, когда .

Построение фундаментальной системы решений

Положим . Пусть общее решение системы (2) записано в виде

,

где ,…, – главные (базисные) переменные, ,…, – значения свободных переменных ,…, . Выберем решений системы (2), полученных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные – равными 0:

, , …, .

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы (2). Они обладают следующим свойством:

Любое решение системы (2) может быть единственным образом представлено в виде:

,

где ,…, – некоторые числа.

Любой набор из решений системы (2), обладающий указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы (2).