Раздел 3. Элементы матричного анализа. Векторы
Вопросы для подготовки к коллоквиуму
n-мерный вектор. Определение, линейные преобразования.
n-мерное векторное пространство. Определение, линейные (не)зависимые вектора.
Размерность векторного пространства. Базис. Координаты вектора в базисе.
Евклидово пространство. Определение, свойства, длина вектора.
Скалярное произведение.
Векторное произведение.
Смешанное произведение векторов.
Двойное векторное произведение.
Линейные операторы. Определение, свойства, действия над линейными операторами.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Задания для аудиторной самостоятельной работы
1.
На плоскости относительно некоторого
базиса даны координаты трех векторов:
;
1)
Найти координаты векторов
;
.
2)
Проверить, что векторы
и
образуют базис на плоскости. Найти
координаты вектора
в этом базисе.
3)
Определить при каком значении параметра
векторы
и
будут коллинеарными.
4)
Найти координаты вектора
.
5)
Вычислить
,
.
6) Найти косинус угла между векторами и .
2.
В пространстве относительно некоторого
базиса даны координаты трех векторов:
.
1)
Найти координаты векторов
,
.
2)
Вычислить
;
.
3) Найти косинус угла между векторами и .
3.
На плоскости относительно декартовой
системы координат даны координаты трех
точек:
;
Найти:
Координаты вектора
.Координаты точек
,
делящих отрезки
в отношениях
,
соответственно.Площадь треугольника
.Угол
.
Индивидуальное домашнее задание
Задание № 1. Даны векторы а=αm+βn и b=γm+δn, где |m|=k, |n|=l, (m,^n)=φ.
Найти: 1) (λ а+μ b)*(ν а+τ b); 2). прb(ν а+τ b); 3). Cos(a,^ τ b).
№ вар. |
α |
β |
γ |
δ |
ķ |
l |
φ |
λ |
μ |
ν |
τ |
1 |
-5 |
-4 |
3 |
6 |
3 |
5 |
5π/3 |
-2 |
1/3 |
1 |
2 |
2 |
-2 |
3 |
4 |
-1 |
1 |
3 |
π |
3 |
2 |
-2 |
4 |
3 |
5 |
-2 |
-3 |
-1 |
4 |
5 |
4π/3 |
2 |
3 |
-1 |
5 |
4 |
5 |
2 |
-6 |
-4 |
3 |
2 |
5π/3 |
-1 |
1/2 |
2 |
3 |
5 |
3 |
-2 |
-4 |
5 |
2 |
3 |
π/3 |
2 |
-3 |
5 |
1 |
6 |
2 |
-5 |
-3 |
4 |
2 |
4 |
2π/3 |
3 |
-4 |
2 |
3 |
7 |
3 |
2 |
-4 |
-2 |
2 |
5 |
4π/3 |
1 |
-3 |
0 |
-1/2 |
8 |
5 |
2 |
1 |
-4 |
3 |
2 |
π |
1 |
-2 |
3 |
-4 |
9 |
-3 |
-2 |
1 |
5 |
3 |
6 |
4π/3 |
-1 |
2 |
1 |
1 |
10 |
5 |
-3 |
4 |
2 |
4 |
1 |
2π/3 |
2 |
-1/2 |
3 |
0 |
11 |
-2 |
3 |
3 |
-6 |
6 |
3 |
5π/3 |
3 |
-1/3 |
1 |
2 |
12 |
-2 |
-4 |
3 |
1 |
3 |
2 |
7π/3 |
-1/2 |
3 |
1 |
2 |
13 |
4 |
3 |
-1 |
2 |
4 |
5 |
3π/2 |
2 |
-3 |
1 |
2 |
14 |
-2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
5 |
2π |
-3 |
4 |
2 |
3 |
15 |
4 |
-3 |
5 |
2 |
4 |
7 |
4π/3 |
-3 |
2 |
2 |
-1 |
16 |
-5 |
3 |
2 |
4 |
5 |
4 |
π |
-3 |
1/2 |
-1 |
1 |
17 |
5 |
-2 |
3 |
4 |
2 |
5 |
π/2 |
2 |
3 |
1 |
-2 |
18 |
7 |
-3 |
2 |
6 |
3 |
4 |
5π/3 |
3 |
-1/2 |
2 |
1 |
19 |
4 |
-5 |
-1 |
3 |
6 |
3 |
2π/3 |
2 |
-5 |
1 |
2 |
20 |
3 |
-5 |
-2 |
3 |
1 |
6 |
3π/2 |
4 |
5 |
1 |
-2 |
21 |
-5 |
-6 |
2 |
7 |
2 |
7 |
π |
-2 |
5 |
1 |
3 |
22 |
-7 |
2 |
4 |
6 |
2 |
9 |
π/3 |
1 |
2 |
-1 |
3 |
23 |
5 |
4 |
-6 |
2 |
2 |
9 |
2π/3 |
3 |
2 |
1 |
-1/2 |
24 |
-5 |
-7 |
-3 |
2 |
2 |
11 |
3π/2 |
-3 |
4 |
-1 |
2 |
25 |
5 |
-8 |
-2 |
3 |
4 |
3 |
4π/3 |
2 |
-3 |
1 |
2 |
26 |
-3 |
5 |
1 |
7 |
4 |
6 |
5π/3 |
-2 |
3 |
3 |
-2 |
27 |
-3 |
4 |
5 |
-6 |
4 |
5 |
π |
2 |
3 |
-3 |
-1 |
28 |
6 |
-7 |
-1 |
-3 |
2 |
6 |
4π/3 |
3 |
-2 |
1 |
4 |
29 |
5 |
3 |
-4 |
-2 |
6 |
3 |
5π/3 |
-2 |
-1/2 |
3 |
2 |
30 |
4 |
-3 |
-2 |
6 |
4 |
7 |
π/3 |
2 |
-1/2 |
3 |
2 |
Задание № 2. По координатам точек А, В, С для указанных векторов найти:
1). Модуль вектора а; 2). Скалярное произведение векторов а и b; 3).проекцию вектора с на d; 4). Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении α :β.
№ |
А |
В |
С |
а= |
b= |
c= |
d= |
l |
α |
β |
1 |
(4,6,3) |
(-5,2,6) |
(4,-4,-3) |
4CB-AC |
AB |
CB |
AC |
AB |
5 |
4 |
2 |
(4,3,-2) |
(-3,-1,4) |
(2,2,1) |
-5AC+2BC |
AB |
AC |
BC |
BC |
2 |
3 |
3 |
(-2,-2,4) |
(1,3,-2) |
(1,4,2) |
2AC-3BA |
BC |
BC |
AC |
BA |
2 |
1 |
4 |
(2,4,3) |
(3,1,- 4) |
(-1,2,2) |
2AB+4AC |
BA |
b |
AC |
BA |
1 |
4 |
5 |
(2,4,5) |
(1,-2,3) |
(-1,-2,4) |
3AB-4AC |
BC |
b |
AB |
AB |
2 |
3 |
6 |
(-1,-2,4) |
(-1,3,5) |
(1,4,2) |
3AC-7BC |
AB |
b |
AC |
AC |
1 |
7 |
7 |
(1,3,2) |
(-2,4,-1) |
(1,3,-2) |
2AB+5CB |
AC |
b |
AB |
AB |
2 |
4 |
8 |
(2,-4,3) |
(-3,-2,4) |
(0,0,-2) |
3AC- 4CB |
c |
AB |
CB |
AC |
2 |
1 |
9 |
(3,4,- 4) |
(-2,1,2) |
(2,-3,1) |
5CB+4AC |
c |
BA |
AC |
BA |
2 |
5 |
10 |
(0,2,5) |
(2,-3,4) |
(3,2,-5) |
-3AB+4CB |
c |
AC |
AB |
AC |
3 |
2 |
11 |
(-2,-3,-4) |
(2,- 4,0) |
(1,4,5) |
4AC- 8BC |
c |
AB |
BC |
AB |
4 |
2 |
12 |
(-2,-3,-2) |
(1,4,2) |
(1,-3,3) |
2AC- 4BC |
c |
AB |
AC |
BC |
3 |
1 |
13 |
(5,6,1) |
(-2,4,-1) |
(3,-3,3) |
3AB- 4BC |
c |
AC |
AB |
BC |
3 |
2 |
14 |
(10,6,3) |
(-2,4,5) |
(3,-4,-6) |
5AC-2CB |
c |
BA |
AC |
CB |
1 |
5 |
15 |
(3,2,4) |
(-2,1,3) |
(2,-2,-1) |
4BC-3AC |
BA |
AC |
BC |
AC |
2 |
4 |
16 |
(-2,3,- 4) |
(3,-1,2) |
(4,2,4) |
7AC+4CB |
c |
AB |
CB |
AB |
2 |
5 |
17 |
(4,5,3) |
(- 4,2,3) |
(5,-6,-2) |
9AB- 4BC |
c |
AC |
AB |
BC |
5 |
1 |
18 |
(2,4,6) |
(-3,5,1) |
(4,-5,-4) |
-6BC+2BA |
c |
CA |
BA |
BC |
1 |
3 |
19 |
(-4,-2,-5) |
(3,7,2) |
(4,6,-3) |
9BA+3BC |
c |
AC |
BC |
BA |
4 |
3 |
20 |
(5,4,4) |
(-5,2,3) |
(4,2,-5) |
11AC-6AB |
BC |
AB |
AC |
BC |
3 |
1 |
21 |
(3,4,6) |
(-4,6,4) |
(5,-2,-3) |
-7BC+4CA |
BA |
CA |
BC |
BA |
5 |
3 |
22 |
(-5,-2,-6) |
(3,4,5) |
(2,-5,4) |
8AC-5BC |
c |
AB |
BC |
AC |
3 |
4 |
23 |
(3,4,1) |
(5,-2,6) |
(4,2,-7) |
-7AC+5AB |
c |
BC |
AC |
AB |
2 |
3 |
24 |
(4,3,2) |
(-4,-3,5) |
(6,4,-3) |
8AC-5BC |
c |
BA |
AC |
BC |
2 |
5 |
25 |
(-5,4,3) |
(4,5,2) |
(2,7,- 4) |
3BC+2AB |
c |
CA |
AB |
BC |
3 |
4 |
26 |
(6,4,5) |
(-7,1,8) |
(2,-2,-7) |
5CB-2AC |
AB |
CB |
AC |
AB |
3 |
2 |
27 |
(6,5,- 4) |
(-5,-2,2) |
(3,3,2) |
6AB-3BC |
c |
AC |
CB |
BC |
1 |
5 |
28 |
(-3,-5,-6) |
(3,5,- 4) |
(2,6,4) |
4AC-5BA |
CB |
BA |
AC |
BA |
4 |
2 |
29 |
(3,5,4) |
(4,2,-3) |
(-2,4,7) |
3AB- 4AC |
AB |
BA |
AC |
BA |
2 |
5 |
30 |
(4,6,7) |
(2,- 4,1) |
(-3,-4,2) |
5AB-2AC |
c |
BC |
AB |
AB |
3 |
4 |
Задание № 3.
Доказать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
№ варианта |
a |
b |
c |
d |
1 |
(5,4,1) |
(-3,5,2) |
(2,-1,3) |
(7,23,4) |
2 |
(2,-1,4) |
(-3,0,-2) |
(4,5,-3) |
(0,11,-14) |
3 |
(-1,1,2) |
(2,-3,-5) |
(-6,3,-1) |
(28,-19,-7) |
4 |
(1,3,4) |
(-2,5,0) |
(3,-2,-4) |
(13,-5,-4) |
5 |
(1,-1,1) |
(-5,-3,1) |
(2,-1,0) |
(-15,-10,5) |
6 |
(3,1,2,) |
(-7,-2,-4) |
(-4,0,3) |
(16,6,15) |
7 |
(-3,0,1) |
(2,7,-3) |
(-4,3,5) |
(-16,33,13) |
8 |
(5,1,2) |
(-2,1,-3) |
(4,-3,5) |
(15,-15,24) |
9 |
(0,2,-3) |
(4,-3,-2) |
(-5,-4,0) |
(-19,-5,-4) |
10 |
(3,-1,2) |
(-2,3,1) |
(4,-5,-3) |
(-3,2,-3) |
11 |
(5,3,1) |
(-1,2,-3) |
(3,-4,2) |
(-9,34,-20) |
12 |
(3,1,-3) |
(-2,4,1) |
(1,-2,5) |
(1,12,-2j) |
13 |
(6,1,-3) |
(-3,2,1) |
(-1,-3,4) |
(15,6,-17) |
14 |
(4,2,3) |
(-3,1,-8) |
(2,-4,5) |
(-12,14,-31) |
15 |
(-2,1,3) |
(3,-6,2) |
(-5,-3,-1) |
(31,-6,22) |
16 |
(1,3,6) |
(-3,4,-5) |
(1,-7,2) |
(-2,17,5) |
17 |
(7,2,1) |
(5,1,-2) |
(-3,4,5) |
(26,11,1) |
18 |
(3,5,4) |
(-2,7,-5) |
(6,-2,1) |
(6,-9,22) |
19 |
(5,3,2) |
(2,-5,1) |
(-7,4,-3) |
(36,1,15) |
20 |
(11,1,2) |
(-3,3,4) |
(-4,-2,7) |
(-5,11,-15) |
21 |
(9,5,3) |
(-3,2,1) |
(4,-7,4) |
(-10,-13,8) |
22 |
(7,2,1) |
(3,-5,6) |
(-4,3,-4) |
(-1,18,-16) |
23 |
(1,2,3) |
(-5,3,-1) |
(-6,4,5) |
(-4,11,20) |
24 |
(-2,5,1) |
(3,2,-7) |
(4,-3,2) |
(-4,22,-13) |
25 |
(3,1,2) |
(-4,3,-1) |
(2,3,4) |
(14,14,20) |
26 |
(3,-1,2) |
(-2,4,1) |
(4,-5,-1) |
(-5,11,1) |
27 |
(4,5,1) |
(1,3,1) |
(-3,-6,7) |
(19,33,0) |
28 |
(1,-3,1) |
(-2,-4,3) |
(0,-2,3) |
(-8,10,13) |
29 |
(5,7,-2) |
(-3,1,3) |
(1,-4,6) |
(14,9,-1) |
30 |
(-1,4,3) |
(3,2,-4) |
(-2,-7,1) |
(6,20,-3) |
Задание № 4.
Выяснить являются ли следующие векторы линейно зависимыми:
№ варианта |
Х1= |
Х2= |
Х3= |
Х4= |
1 |
(-3,1,5) |
(6,-2,15) |
|
|
2 |
(4,-12,28) |
(-7,21,-49) |
|
|
3 |
(1,2,3,0) |
(2,4,6,1) |
|
|
4 |
(1,2,3) |
(2,5,7) |
|
|
5 |
(1,2,3) |
(2,5,7) |
(3,7,11) |
|
6 |
(1,4,7,10) |
(2,5,8,11) |
(3,6,9,12) |
|
7 |
(1,2,3) |
(4,5,6) |
(7,8,9) |
|
8 |
(4,5,6,) |
(7,8,9) |
(10,11,12) |
|
9 |
(1,1,1) |
(1,0,-1) |
(1,3,5) |
|
10 |
(1,2,-1,-2) |
(-2,-3,0,1) |
(1,2,1,4) |
|
11 |
(2,3,0,-1) |
(1,2,1,4) |
(1,3,-1,0) |
|
12 |
(1,3,5) |
(2,7,3) |
(3,9,4) |
|
13 |
(1,2,1,1) |
(2,3,1,0) |
(3,1,1,-2) |
(4,2,-1,-6) |
14 |
(1,2,-1,-2) |
(7,14,-1,2) |
(1,3,-1,0) |
(2,3,0,-1) |
15 |
(2,9,3,5) |
(1,2,2,-1) |
(2,3,2,5) |
(-1,4,3,-1) |
16 |
(1,2,1,1) |
(0,4,1,3) |
(2,3,1,0) |
(3,1,1,-2) |
17 |
(1,1,1,1) |
(1,1,-1,-1) |
(1,-1,1,-1) |
(1,-1,-1,1) |
18 |
(4,3,-1,1) |
(2,1,-3,2) |
(1,-3,0,1) |
(1,5,2,-2) |
19 |
(2,2,7,-1) |
(3,-1,2,4) |
(1,1,3,1) |
|
20 |
(3,2,-5,4) |
(3,-1,3,-3) |
(3,5,-13,11) |
|
21 |
(2,3,-4,-1) |
(1,-2,1,3) |
(5,-3,-1,8) |
(3,8,-9,-5) |
22 |
(2,-1,1,1) |
(1,2,1,-1) |
(1,1,2,1) |
|
23 |
(2,1,-3) |
(3,1,-5) |
(4,2,-1) |
|
24 |
(1,1,1,1) |
(1,1,-1,-1) |
(1,1,1,-1) |
(1,-1,-1,1) |
25 |
(1,2,1,0) |
(-1,1,1,1) |
(2,-1,0,-1) |
(1,-1,3,7) |
26 |
(2,1,3,1) |
(1,2,0,1) |
(-1,1,-3,0) |
|
27 |
(2,1,3,-1) |
(-1,1,-3,1) |
(4,5,3,-1) |
(1,5,-3,1) |
28 |
(1,2,-1,-2) |
(3,1,1,1) |
(-1,0,1,-1) |
|
29 |
(2,-1,2,3) |
(-1,1,1,-2) |
(1,-2,-5,1) |
(1,2,11,-1) |
30 |
(2,-1,1,1) |
(-1,1,-2,2) |
(2,1,-5,11) |
(1,3,-1,0) |