Контрольные вопросы и задания

1. Что такое таблица истинности?

2. В каком порядке выполняются действия при построении таблицы истинности по логической формуле?

3. Сколько комбинаций можно получить при построении таблицы истинности по формуле, содержащей 4 переменных?

4. В каком случае логические формулы являются равносильными?

5. Какие основные законы равносильности логических формул вы знаете?

Рекомендуемая литература: 1[94-114].

Практическая работа №6

Тема: Совершенные нормальные формы. Преобразование формул к СДНФ и СКНФ

Цель:

- закрепление знаний совершенных нормальных формах;

- формирование практических навыков преобразования формул к СДНФ И СКНФ;

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 4 часа.

Теоретические сведения

Всякая функция алгебры логики может быть выражена в виде функции, содержащей из логических связок лишь конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Такое представление называется совершенной нормальной формой.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) в алгебре логики – совершенная нормальная форма, в которой логическая формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – совершенная нормальная форма, в которой логическая формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций.

Любая булева функция, не являющаяся тождественным нулем, имеет только одну СДНФ, с точностью до расположения членов.

Любая булева функция, не являющаяся тождественной 1, имеет только одну СКНФ, с точностью до расположения членов.

Алгоритм приведения к СДНФ (СКНФ):

1. Аналитический способ.

   1. Формулу с помощью равносильных преобразований приводят к ДНФ (КНФ).

   2. В те слагаемые дизъюнкции (конъюнкции), в которых конъюнкция (дизъюнкция) содержит не все переменные, добавляют дизъюнкцию (конъюнкцию) недостающей переменной с её отрицанием.

   3. Раскрывают скобки по дистрибутивному закону.

   4. Исключают повторяющиеся слагаемые.

2. Неаналитический способ.

   1. Для данной формулы строят таблицу истинности.

   2. Выбирают все значения переменных (δ₁, … δ,_n), которые в итоговом столбце таблицы истинности дают значение «истина» («ложь»).

   3. Строят СДНФ (СКНФ), в соответствии с формулой F(X₁,…,X_n)= & …& ,

(F= ( Ú …Ú )).

Пример 1: Представьте функцию X₁®X₂ в СКНФ.

Решение: Построим таблицу истинности.

X1	®	X2
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Имеется лишь один набор, при котором данная функция принимает значение «ложь»: X₁=«истина», X₂=«ложь». Поэтому

X₁®X₂=X₁^ØИÚX₂^ØЛ=X₁^ЛÚX₂^И=^ØX₁ÚX₂.

Пример 2: Представьте функцию X₁®X₂ в СДНФ.

Решение: Построим таблицу истинности.

X1	®	X2
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Имеется три набора, при которых данная функция принимает значение «истина»: X₁=«ложь», X₂=«ложь»; X₁=«ложь», X₂=«истина»; X₁=«истина», X₂=«истина». Поэтому X₁®X₂=(X₁^Л&X₂^Л)Ú(X₁^Л&X₂^И)Ú(X₁^И&X₂^И)=(¬X₁&¬X₂)˅(¬X₁&X₂)˅(X₁&X₂)