Контрольные вопросы и задания

1. Что такое высказывание? Какие существуют виды высказываний?

2. Какие существуют способы образования сложных высказываний?

3. Что такое квантор? Какие существуют виды кванторов и каково их значение?

4. Что такое квазивысказывание и чем оно отличается от высказывания?

5. Является ли простым или сложным высказывание «Саша и Маша изучают логику»? В каком случае оно будет истинно, а в каком ложно?

6. Как можно интерпретировать логическую функцию A→B?

Рекомендуемая литература: 1[94-114].

Практическая работа №5

Тема: Построение таблиц истинности по логическим формулам

Цель:

- закрепление знаний об основных логических функциях;

- формирование практических навыков построения таблиц истинности по логическим формулам;

- закрепление знаний о свойствах и равносильности логических формул.

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 4 часа.

Теоретические сведения

Всякое сложное высказывание, составленное из некоторых исходных высказываний посредством применения логических операций (связок), называют формулой алгебры высказываний. Исходные высказывания могут быть предметными постоянными, предметными переменными, пропозициональными переменными. Если задать значения всех переменных высказываний, то сама формула примет определённое значение. Так как аргументы и функции способны принимать только два различных значения, то такая функция может быть полностью описана конечной таблицей, называемой таблицей истинности. Приведём таблицу истинности для простейших функций (таблица 5.1).

Таблица 5.1 - Таблица истинности простейших функций.

X1	X2	X1	X1X2	X1X2	X1X2	X1X2	X1/X2	X1↓X2
0	0	1	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1	0
1	1	0	1	1	1	1	0	0

Пример 1. Вычислить значения функции (X₁&X₂)→(^X₃^X₂) при всевозможных наборах переменных X₁, X₂, X₃.

Решение: Запишем данную формулу в верхнюю строку таблицы и под буквами X₁, X₂, X₃ выпишем всевозможные наборы их значений. Затем столбцы под формулами ^X₃ и ^X₂ заполним их значениями. Далее заполним столбцы под символами & и V соответственно значениями формул X₁&X₂ и (^X₃^X₂). Наконец, заполним столбец под символом → значениями заданной формулы. В результате получим таблицу 5.2

Таблица 5.2 - Таблица истинности функции (X₁&X₂)→(^X₃^X₂)

(X1	&	X2)		(	X3		X2)
0	0	0	1	1	0	1	1
0	0	0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	0	1	0
1	1	1	0	0	1	0	0

Описанная таблица называется таблицей Куайна. При ее составлении надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться «изнутри наружу», то есть от элементарных формул к более сложным. Столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы. В первую очередь выполняются, как в математике, действия в скобках, далее инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация и в последнюю очередь эквивалентность. Количество комбинаций (количество заполняемых строк таблицы) вычисляется по формуле 2ⁿ, где n – количество переменных в логической формуле.

Две формулы будут являться равносильными, если при любых значениях переменных, входящих в исходные формулы, формулы принимают одинаковые значения. Рассмотрим основные законы равносильности логических формул:

¬¬X=X – закон двойного отрицания; (1)

X&Y=Y&X, X˅Y=Y˅X – закон коммутативности; (2)

(X&Y)&Z=X&(Y&Z), (X˅Y)˅Z=X˅(Y˅Z) – закон ассоциативности; (3)

X&(Y˅Z)=(X&Y)˅(X&Z), X˅(Y&Z)=(X˅Y)&(X˅Z) – закон дистрибутивности; (4)

¬(X˅Y)=¬X&¬Y, ¬(X&Y)=¬X˅¬Y – законы де Моргана; (5)

X&X=X; (6)

X˅X=X; (7)

X&1=X; (8)

X&0=0; (9)

X˅0=X; (10)

X˅1=X; (11)

X&¬X=0, X˅¬X=1 – закон исключения третьего; (12)

X≡Y=(X→Y)&(Y→X); (13)

X→Y=¬X˅Y; (14)

Х(YX)=X, X(XY)=X – формулы поглощения; (15)

XY=^(XY); (16)

XY=^(XY)=^X^Y; (17)

X/Y=^X^Y=^(XY). (18)

Пример 2: Упростите формулу:

1. ((xx)&y)(xx);

Решение:

(xx)=x, ((xx)&y)(xx)=(x&y)˅x (6)

(x&y)˅x=x˅(x&y) (2)

x˅(x&y)=x (15)