Критерии оценки практических работ
Наибольший рейтинговый балл, который может заработать обучающийся, определяется приложением к рабочей программе «Рейтинговая система оценки», который доводится до обучающегося в начале семестра.
По итогам изученной дисциплины обучающийся может получить оценку согласно шкале (на основании Положения о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов, обучающихся по программам СПО Тюменского государственного нефтегазового университета, 2013 г.):
88 до 100 баллов – «отлично»;
76 до 90 баллов – «хорошо»;
61 до 75 баллов – «удовлетворительно»;
60 баллов и менее – «неудовлетворительно».
ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Практические работы оформляются в отдельных тетрадях.
Структура отчета по практическим работам:
номер и тема работы;
условия задания;
решение заданий;
краткие ответы на контрольные вопросы.
Практическая работа №4
Тема: Алгебра логики. Основные логические функции
Цель:
- закрепление знаний об основных логических функциях;
- формирование практических навыков интерпретации логических функций.
Вид работы: индивидуальный.
Время выполнения: 2 часа.
Теоретические сведения
Высказывание — первый важнейший объект изучения математической логики. Алгебра высказываний изучает способы построения высказываний из уже имеющихся высказываний, закономерности таких способов сочетания высказываний. Алгебра высказываний является фундаментом математической логики, которая в свою очередь служит основой для построения логических элементов ЭВМ, но не ставит целью их всестороннее изучение. Из многочисленных свойств высказывания алгебру высказываний интересует лишь одно: истинно оно или ложно. Именно это и является определяющим свойством высказывания.
Высказывание – повествовательное предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.
Высказывание считают атомарным или элементарным, если оно сообщает единичный факт и никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание.
Высказывания, относящиеся к числу общеизвестных истин, называют трюизмами.
Сложные высказывания образуются из атомарных применением трех видов операций:
Логические связки
Модальности
Кванторные конструкции
Пример 1: Определите тип высказываний и проверьте их истинность:
2*2=4.
2*2=5.
Волга впадает в Каспийское море.
Волга впадает в Балтийское море.
Кама впадает в Каспийское море.
Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел.
13 января 1995 году в 11:35 на улице Пушкинской был сбит гражданин Иванов Иван Иванович.
Не только Иванов, но и Петров прогулял последнюю лекцию.
Большинство членов собрания проголосовало за первое предложение.
Все волки – млекопитающие.
Простых чисел бесконечно много.
Геракл убил немейского льва.
У русалок зеленые волосы.
Рим расположен на реке Тибр, основан, согласно Титу Ливию, Ромулом и находится под особым покровительством Марса.
По словам Сталина, Троцкий был врагом СССР.
Решение:
В приведенном примере высказывания 1, 11 являются, безусловно, истинными, а 2, 4 – безусловно, ложными. Но истинность либо ложность не всегда легко установить. Например, высказывание 6 требует доказательства и называется теоремой Евклида.
Высказывание 3 является трюизмом, но по принятому в географии определению при слиянии двух рек притоком считается та, которая несет меньше воды, а годовой сток Камы при слиянии с Волгой почти в два раза больше. Так что, правильней было бы считать истинным высказывание 5, а 3 ложным. Нигде так долго, прочно и безнаказанно не могут существовать ошибки, как среди трюизмов.
Высказывания 9-11 являются общими.
Иногда вопрос об истинности или ложности высказываний переносится в вымышленный мир. Примерами служат высказывания 12 и 13. Так, все признают истинными высказывание 12 о Геракле, но на самом деле неизвестно, был ли он и что делал.
Иногда высказывание относится не столько к сообщаемому факту, сколько к его оценке. Например, высказывание 15 не зависит от реальной истинности данного факта, но может быть строго доказано анализом исторических документов, касающихся того, что говорил и делал Сталин.
Высказывание 8 является сложным.
В сложном высказывании могут быть перемешаны и реальность, и вымысел, и оценки, как в высказывании 14.
Атомарные высказывания могут быть достаточно сложными с точки зрения грамматики (утверждение 7 – атомарное), а общие – достаточно простыми (утверждение 10 – общее, но не сложное).
Помимо высказываний, в естественном языке имеется множество предложений, которые не могут иметь четкой интерпретации. Их называют квазивысказываниями. К ним относятся также все оценочные высказывания, например, «Саша любит Машу», «Результаты наших исследований очень ценны».
Посредством модальностей квазивысказывания неразрывно связаны с высказываниями. Например «Саша заявил, что любит Машу» - уже высказывание, а «Мне кажется, что Волга впадает в Каспийское море» - квазивысказывание.
Сложные
высказывания образуются также с помощью
кванторов. Рассмотрим подробнее квантор
общности (
)
и квантор существования (
).
Утверждение «Для всех x верно A(x)» символически записывается
xA(x).
Эта же связка при переводе на язык
логики высказываний «A
верно при любом значении x»,
«Для любого x
имеет место A(x)»
и т.д.Утверждение «Существует такое x, что A(x)» символически записывается как
xA(x).
Данная связка применяется при переводе
на язык логики утверждений «A(x)
верно при некоторых x»,
«Есть такое x,
при котором A(x)»
и т.п.
Из элементарных высказываний с помощью операций над высказываниями или логических связок строят сложные высказывания.
Отрицанием
высказывания A
называется высказывание, обозначаемое
A
или
,
(читается как «не A»),
которое истинно, когда A
ложно, и ложно, когда A
истинно.
Отрицающие друг друга высказывания A и называются противоположными.
Пример 2: Является ли истинным высказывание «Январь - не зимний месяц»?
Решение: Высказывание «Январь - зимний месяц» истинно, значит противоположное ему высказывание «Январь – не зимний месяц» ложно.
Конъюнкцией
высказываний A
и
B
называется высказывание, обозначаемое
А
В
или A&B
(читается «A
и B»),
истинные значения которого определяются
в том и только том случае, когда оба
высказывания А
и В
истинны.
Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.
Пример 3: Является ли истиной высказывание «Маша и Саша изучают логику», если высказывание «Маша изучает логику» истинно, а «Саша изучает логику» ложно?
Решение: Поскольку для истинность высказывания A&B необходимо, чтобы истинны были оба высказывания A и B, высказывание «Маша и Саша изучают логику» ложно, так как входящее в него высказывание «Саша изучает логику» ложно
Дизъюнкцией
высказываний А
и
В
называется
высказывание А
В
(читается А
или В),
которое истинно тогда и только тогда,
когда хотя бы одно из высказываний
истинно, и ложно – когда оба высказывания
ложны.
Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.
Пример 4: Является ли истинным высказыванием «|x|=x при x>0 или x<0»?
Решение: Для истинности высказывания A B нужно, чтобы хотя бы одно из входящих в его состав высказываний было истинно. Высказывание «|x|=x при x>0» истинно, а «|x|=x при x<0 ложно, следовательно «|x|=x при x>0 или x<0» истинно.
Импликацией высказываний А и В называется высказывание А→В («если А, то В», «из А следует В»), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
В импликации А→В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.
Пример 5: Истинно ли высказывание «Если число 12 делится на 6, то оно делится на 2»?
Решение: Так как высказывание А – «число 12 делится на 6» истинно, высказывание В – «число 12 делится на 2» также истинно, то и импликация А→В истинна.
Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А≡В или A↔B (читается «А эквивалентно В», «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В»), которое истинно тогда, когда А и В одновременно истинны или оба ложны.
Пример 6: Дано высказывание А – «число 5n делится на 2» и высказывание В – «число n является четным». Сформулируйте эквиваленцию А↔В:
Решение:
а) число 5n делится на 2 тогда и только тогда, когда n – четное число;
b) условия: число 5n делится на 2 и что число n – четное, эквивалентны;
с) для того чтобы число 5n делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы n было четным;
d) для того чтобы n было четным, необходимо и достаточно, чтобы число 5n делилось на 2;
e) из того, что 5n делится на 2, следует, что n число четное и обратно.