Приклади розв’язку тестових завдань

Розділ I. Моменти інерції плоских фігур.

Визначення координат центру ваги фігури

Тест 1

Визначити координати центра ваги трикутника, наведеного на малюнку. Відповідь дати в см (z_C, y_C).

Рис.87.

Розв’язок:

Рис.88.

Центр ваги трикутника розташований по осі У на відстані 1/3h від основи та по осі z на відстані 1/3b від його висоти. Тоді відстань між центром ваги і заданими вісьма буде визначатися:

Відповідь: z_C= –1, y_C= –1,5.

Тест 2

Визначити координати центра ваги прямокутника, наведеного на малюнку. Відповідь дати в см (zc, yc).

Рис.89.

Розв’язок:

Рис.90.

Центр ваги прямокутника розташований у точці перетині діагоналей, тому координати центру ваги будемо визначати за формулами:

Відповідь: z_C=–3, y_C=0.

Тест 3.

Визначити координату у_c центра ваги поперечного перерізу, наведеного на малюнку. Відповідь дати в см

Рис.91.

Розв’язок:

Рис.92.

Для визначення координати y_C центр ваги поперечного перерізу складної фігури, треба її уявно розбити на декілька простих фігур:

Тоді координати у_С центр ваги для всієї фігури визначаємо за формулою:

у₁ – координата центру ваги для першої фігури

у₂ – координата центру ваги для другої фігури

у₃ – координата центру ваги для третьої фігури

А₁ – площа першої фігури

А₂ – площа другої фігури

А₃ – площа третьої фігури

Відповідь: у_С=7,76см

Обчислення моментів інерції відносно центральний осей

Тест 1

Обчислити відцентровий момент інерції трикутника щодо осей ZсУс. Відповідь дати в см⁴ з одним знаком після коми.

Рис.93

Розв’язок:

Знак відцентрового моменту інерції буде від’ємним

Відповідь:

Тест 2.

Обчислити осьовий момент інерції прямокутника щодо осей Zс Відповідь дати в см⁴.

Рис.94

Розв’язок:

Відповідь:

Тест 3.

Розрахувати осьові моменти інерції щодо центральних осей, паралельних основним розмірам для заданої фігури (див. рис.92)

Рис.95

Розв’язок:

Рис.96

Визначимо спочатку положення центральних осей. Для цього проводимо початкові вісі через основні розміри фігури. Відносно осей z₀, у₀ визначимо координати центрів ваги трикутника (z₁, у₁) прямокутника (z₂, у₂), а також площі трикутника та прямокутника.

Визначимо координати центра ваги (z_С, у_С) всієї фігури:

Використовуючи формули для визначення моментів інерції при паралельному перенесенні осей визначимо осьові моменти інерції відносно центральних осей:

І_ZI – осьові моменти інерції відносно власних центральних осей (z₁, z ₂) для трикутника та прямокутника відповідно:

а₁ – відстань між осями z₁ та z_C

а₂ – відстань між осями z₂ та z_C

І_УI – осьові моменти інерції відносно власних центральних осей (у₁, у ₂) для трикутника та прямокутника відповідно:

d₁ – відстань між осями y₁ та y_C

d₂ – відстань між осями y₂ та y_C

Відповідь:

Визначення моментів інерції відносно осей. Що проходять через основні розміри фігур в загальному вигляді

Тест 1

Визначити в загальному вигляді відцентровий момент інерції прямокутника щодо осей УZ, що проходять через основні розміри (див. рис.93).

Рис.97

Розв’язок:

Рис.98

Формула для визначення відцентрового моменту інерції відносно осей які, паралельні центральним осям прямокутника має вигляд:

– відцентровий момент інерції прямокутника відносно центральних осей

а – відстань між осями Z та Z_C

с – відстань між осями У та У_C

А – площа поперечного перерізу

Відповідь:

Тест 2

Визначити в загальному вигляді осьовий момент інерції прямокутника щодо осі У (див. рис.94).

Рис.99

Розв’язок:

Рис.100

– відцентровий момент інерції відносно центральної осі у_С

с – відстань між осями У та У_C

А – площа поперечного перерізу

Відповідь:

Тест 3

Розрахувати відцентровий момент інерції кола щодо осей ZУс.

Рис.101

Розв’язок:

Це твердження справедливе, бо у_С центральна вісь симетрії, а якщо хоча одна з осей – вісь симетрії, то відцентровий момент відносно таких осей завжди дорівнює нулю для будь якою фігури.

Відповідь: Іzy_C=0