2.1 Определение внутренних усилий вала. Построение эпюр

Постановка задачи:

Для стального вала постоянного поперечного сечения, загруженного тремя известными моментами: требуется:

1. Установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого момента равен нулю;

2. Для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов;

3. При заданном определить диаметр вала из расчета на прочность и жесткость и округлить его значение до ближайшего значения;

4. Построить эпюру углов закручивания;

5. Найти наибольший относительный угол закручивания, найти необходимые размеры сечения при ;

6. Найти отношение веса сплошного вала к полому.

Дано:

Рисунок 7 – Система для расчета

Степень статической неопределимости равна 1, так как для решения данной задачи можно составить лишь одно уравнение равновесия – в виде равенства нулю суммы моментов относительно оси вала, а неизвестных момента 2 ( – момент реактивный и неизвестный внешний момент Х).

Уравнение статики:

(61)

(62)

Дополнительное уравнение (уравнение деформаций) составим из рассмотренной деформации системы.

Суммарный угол закручивания представляет собой алгебраическую сумму углов закручивания на всех участках (4 участка – границами участков являются места приложения внешних вращающихся моментов). Этот суммарный угол закручивания , так как угол закручивания левого концевого сечения, в силу неповорачиваемости, равен нулю, а угол закручивания правого концевого сечения по условию задания равен нулю:

(63)

Угол закручивания каждого участка распишем по формуле:

, (64)

где G – модуль сдвига;

l – длина вала;

– жесткость сечения.

(65)

(66)

Для определения крутящих моментов применим метод сечений:

Сечение 1:

(67)

Сечение 2:

(68)

Сечение 3:

(69)

Сечение 4:

(70)

Найдем момент :

(71)

(72)

Найдем момент Х:

(73)

. (74)

Определим числовые значения крутящих моментов:

(75)

(76) (77) (78)

Из условия прочности находим:

(79)

Из условия жесткости:

(80)

Окончательно принимаем .

Для построения эпюры углов закручивания определим полные углы закручивания вала на отдельных участках. Предварительно определим момент инерции:

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

Определим углы поворота отдельных сечений:

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

Найдем наибольший угол закручивания

; (91)

(92)

Из условия прочности находим диаметр полового сечения:

(93)

Из условия жесткости:

(94)

Окончательно принимаем .

Находим отношение веса сплошного вала к полому:

; (95)

; (96)

; (97)

. (98)

Построение эпюр моментов и углов закручивания (рисунок 13).

Рисунок 8 – Построение эпюр