2. Расчет статически неопределимой системы при осевом растяжении (сжатии)

Статически неопределенными системами называются такие, в которых реакцию опор, а следовательно, и внутренние усилия нельзя определить при помощи одних уравнений равновесия статики.

Для того чтобы раскрыть статическую неопределимость задачи необходимо представить систему в деформированном виде. И на основании условия совместности деформации составить уравнения деформации.

Постановка задачи:

Для стального бруса, ступенчатого поперечного сечения, жёстко заделанного обоими концами, загруженного силами и нагретого на температуру ∆t требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений , перемещений ;

2. Проверить прочность стержня, если .

Дано:

Рисунок 5 – Схема статически неопределимой системы

;

; .

Данная система является один раз статически неопределимой (Две реакции и одно уравнение статики).

Уравнение статики:

; (28)

(29)

(30)

Стержень имеет четыре участка нагружения. Границами участков будут являться те сечения, где приложены внешние силы или где изменяется площадь поперечного сечения. Применяя метод сечений на каждом участке, находим продольные силы.

(31)

(32)

(33)

Дополнительное уравнение составим из условия, что полное удлинение стержня от внутренних сил равно нулю, так как расстояние между жёстко защемленными концами измениться не может.

Полное удлинение равно сумме удлинений четырех участков AB, BC, CD, DE (границами участков будут места приложения сосредоточенных сил и ступенчатого изменения площади поперечного сечения). Предполагаем, что все четыре участка растягиваются.

(34)

Составим одно дополнительное уравнение – уравнение деформации:

(35)

(36)

Распишем :

(37)

Подставив данные из условия, решаем оба уравнения совместно:

; (38)

Выразим из второго уравнения системы :

(39)

Выразим из первого уравнения системы :

(40)

Найдем числовые значения продольных сил:

(41)

(42)

(43)

Нормальные напряжения на каждом участке определяем по формуле:

(44)

; (45)

; (46)

. (47)

Для построения эпюры перемещений предварительно определим продольные деформации на каждом участке:

; (48)

Подставим числовые значения:

; (49)

(50)

. (51)

Затем определим перемещение отдельных сечений:

(52)

(53)

(54)

. (55)

Проверяем прочность стержня, если :

(56)

(57)

(58)

(59)

, (60)

что экономически не выгодно. Условие прочности не соблюдается, такая конструкция существовать не может.

Рисунок 6 – Эпюры N

2. КРУЧЕНИЕ