Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Методы Рунге-Кутта

Методы Рунге-Кутта – одношаговые методы, существенно более точные, чем метод Эйлера.

Общая схема получения методов. Идея методов Рунге-Кутта состоит в том, что, в отличие от метода Эйлера, приближенное значение на следующем шаге вычисляется вначале в некоторых промежуточных точках, а затем усредняется:

, (1.3)

где – из метода Эйлера, ,

. . . . . . . . . . . . . . .

,

r ≥ 1 – фиксированное целое число, порядок точности метода, p_i, α_i, β_ij – параметры. Эти параметры определяются при конкретных значениях r из того, чтобы погрешность метода на шаге была наименьшей по порядку. Определим эти параметры для r=2. Из формулы (1.3) получаем

, (1.4)

где , .

Для определения параметров оценим погрешность метода на шаге Δ_m(h). , где – точное значение в точке x_m+1, y_m+1 – приближенное значение, вычисленное по формуле (1.4), исходя из точного . Запишем разложение функции по формуле Тейлора:

. (1.5)

Из дифференциального уравнения , которое запишем, как и продифференцируем:

или

.

Из формулы (1.5)

(1.6)

Из формулы (1.4)

.

Из формулы Тейлора для двух переменных:

,

т.к. ,

. (1.7)

Из сравнения формул (1.4) и (1.5) получаем систему уравнений

(1.8)

В системе три уравнения и четыре неизвестных. Такая система имеет бесконечно много решений. Одно из неизвестных может быть выбрано произвольно. Чаще всего встречаются следующие два частных решения.

I. , ;

II. , .

В I случае расчетная формула метода Рунге-Кутта 2-го порядка имеет вид:

, где из формулы (1.4) ;

.

Во II случае вычисления проводятся по схеме

, где .

Система (1.8) получается из условия наиболее полного возможного совпадения формул (1.6) и (1.7) и обеспечивает равенство слагаемых – свободных, линейных и квадратных в этих формулах, таким образом, погрешность полученных методов на шаге имеет порядок точности 3: . Полная погрешность метода на всем интервале [a;b] за n шагов составляет величину .

Основной метод Рунге-Кутта получается при r=4. Вывод формул аналогичен только что рассмотренному, но в формуле Тейлора потребуется продолжить разложение вплоть до слагаемых 4-го порядка. Можно получить

, где ;

;

;

.

Погрешность метода на шаге составляет величину , общая погрешность метода – .

Формулы погрешности, полученные для методов Рунге-Кутта, позволяют определить порядок метода, т.е. насколько быстро меняется погрешность при изменении шага вычислений, но не дают возможности оценить саму величину погрешности. К.Рунге предложил практическое правило для оценки величины погрешности в случае, если задан порядок метода. Оценка осуществляется двойным пересчетом.

Предположим, вы решаете задачу методом, порядок точности которого равен k, т.е. разница между точным решением y и приближенным решением, полученным с шагом h – y_h,, выражается так: , тогда, если повторить решение той же задачи, но с шагом , вы получите более точное решение , причем

Рассмотрим абсолютную величину разности между точным и приближенным решением для шага и для шага и вычтем уравнения почленно:

; ; получим . Преобразуем это выражение к виду: или , тогда , т.е. погрешность второго пересчета можно оценить. Некоторая условность полученной оценки происходит от того, что в формулах для и могут оказаться различные константы М. Но лучшего способа оценки погрешности придумано не было.

В случае метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности и оценить погрешность можно следующим образом:

.

Отсюда получается правило регулировки шага вычислений. Если вычисленная таким способом , где ε – наперед заданная предельно допустимая погрешность вычислений, то шаг удваивается, а если , то шаг измельчается.