Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Метод Эйлера

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в явном виде Такое уравнение в общем случае имеет бесконечно много частных решений, и для того, чтобы выбрать из них одно конкретное, ставят дополнительное условие, обычно в виде .

Получается задача Коши: .

Если функция непрерывна по х и непрерывно дифференцируема по y, то задача Коши имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных и . Если непрерывна по х и по y, то задача Коши имеет локальное решение, возможно и единственное (Теорема Пеано). Решение может существовать не во всех точках, где определена .

Основы численных методов вообще и для дифференциальных уравнений в частности были заложены Л. Эйлером. Его именем называется один из самых простых методов решения задачи Коши (которая в те годы еще так не называлась, т.к. Коши лет на 50 моложе Эйлера). Метод состоит в том, чтобы заменить производную y' ее аппроксимацией. Рассмотрим решение задачи Коши на промежутке [a; b]. Обозначим: – шаг разбиения, – узловые точки, x₀ = a, x_n = b, i = 0, 1…, n; y_i = y(x_i).

Уравнение в точке x_i и y_i имеет вид , после аппроксимации ;

.

Из начальных условий – дано. Следующее значение – – получается из x₀, y₀. Дальше процесс продолжается, следующее y_i+1 получается из предыдущего y_i, и так до Геометрически метод Эйлера означает замену движения по кривой движением по касательной:

- уравнение прямой, проходящей через точку (x_i, y_i);

k – ее угловой коэффициент.

Для касательной угловой коэффициент , в нашем случае , значит, – уравнение касательной к интегральной кривой y=y(x) в точке x=x_i y=y_i, а точка лежит на касательной при x=x_i+1. Погрешность на первом шаге получается сразу из аппроксимационной формулы:

– она составляет величину второго порядка на одном шаге. Таким образом, приближенное значение функции в первом узле будет:

.

Но на втором шаге при вычислении y₂

используется приближенное значение и в результате погрешности на каждом шаге складываются, в результате после n шагов вычислений погрешности суммируются и общая погрешность будет: ; , т.е. общий результат вычислений получается 1-го порядка точности, несмотря на то, что сама расчетная формула 2-го порядка.

Оценка погрешности является достаточно приблизительной, т.к., во-первых, на каждом шаге при оценке погрешности Mh² константа M не остается одинаковой, а во-вторых, при вычислениях используется приближенное значение и . Тем не менее, принято оценивать погрешность метода именно так, считая, что M общее – это наибольшее значение М на n шагах, а функцию можно разложить по формуле Тейлора до членов порядка :

На примере метода Эйлера нужно обратить внимание еще на одну закономерность, которая прослеживается и в других методах – зависимость точности результата от величины шага h. Вычисляя y₁, мы полагали, что значение y₀ определено точно, но исходные данные x₀, y₀ бывают найдены из некоторых дополнительных измерений и допускают определенную ошибку, назовем ее α, тогда значение производной

.

И ошибка при вычислении производной имеет вид: . Рассмотрим эту зависимость графически. Это гипербола, нас интересует положительная ветвь.

Для сравнительно больших значений шага h погрешность убывает с уменьшением шага, но если продолжать уменьшать шаг меньше некоторого критического значения , то погрешность начинает резко расти. Таким образом, .

Вывод прост и понятен: никакая вычислительная наука не позволит вам получить результат существенно точнее, чем те исходные данные, которые вы используете. Если же вы настаиваете и уменьшаете шаг вычислений и дальше, то получаете далекие от точного решения численные результаты. Этот вывод справедлив и для других численных методов.

ε

h

h_min

Рис. 1.1. Уравнение асимптоты

Современная наука предложила много других методов для решения задачи Коши. Но метод Эйлера не потерял своей актуальности благодаря простоте использования, хотя, он дает хорошее приближение только для малых h и первых 3-4 шагов. Недостатками метода Эйлера является малая точность и систематическое накопление ошибок.