Численное дифференцирование. Аппроксимационные формулы

Пусть некоторая, достаточное число раз дифференцируемая, функция задана на промежутке [a; b]. Число – целое, . Разделим отрезок [a; b] на равных частей длины , – шаг разбиения. Пронумеруем узловые точки , меняется от 0 до . Обозначим . В классической формуле Тейлора

возьмем сначала в качестве , , а затем выбираем , , .

Получились две формулы:

; (1.1)

. (1.2)

Константы M в этих формулах не обязаны быть одинаковыми, а кроме того, они меняются в зависимости от количества учитываемых слагаемых в формуле Тейлора, но мы обозначаем их одинаково, не учитывая знака и величины. Из формулы (1.1) можно получить приближенное значение первой производной в точке x_i

;

.

– это аппроксимационная формула для y'_i справа, первого порядка точности, т.к. ее погрешность , k = 1.

Эту формулу можно получить непосредственно из определения производной .

Заменим в определении Δх наименьшим возможным положительным значением Δх=h:

, или для : ,

но в этом случае ничего нельзя сказать о величине погрешности и о порядке точности формулы.

Из формулы (1.2) точно так же получается – это аппроксимация первой производной слева, она также 1-го порядка точности.

Можно получить аппроксимацию первой производной более высокого порядка точности. Для этого вычтем из формулы (1.1) формулу (1.2)

Получилась аппроксимация 2-го порядка. Можно получить аппроксимацию первой производной любого порядка точности. Для этого нужно записать еще несколько вариантов формулы Тейлора для , и т.д., а затем взять их линейную комбинацию так, чтобы слагаемые с h², h³…h^k сократились.

Можно аналогично получить аппроксимацию для производных высших порядков. Например, y''=(y')', значит

, где , , тогда

Но эта формула приближенная и ничего не известно об ее погрешности.

Можно поступить иначе, запишем два варианта формулы Тейлора:

Сложим эти уравнения, умножив предварительно второе на -2, получим

Полученная формула имеет 1-ый порядок точности.

Если этот результат не устраивает исследователя, то можно получить более точную аппроксимацию. Запишем два варианта формулы Тейлора, формулы (1.1) и (1.2)

После сложения получается

– аппроксимационная формула 2-го порядка. Для вычисления второй производной нужно знать значения функции в трех соседних узлах. Можно получить еще более точную формулу

Умножим каждую из формул на соответствующие множители α, β, γ и δ и сложим. При этом подберем множители так, чтобы слагаемые с y'_i, y'''_i, y^(IV)_i сократились, т.е.

;

;

.

Получилась система из 3-х линейных уравнений с 4-мя неизвестными (значит, одно из неизвестных можно выбрать произвольно):

.

Из первых двух уравнений получим, что α – δ = 0 и β – γ = 0, α = δ, β = γ, 16(2α) + (2β) = 0, β = -162, γ = -162, δ = α. Выбираем произвольным образом α = 1, тогда получим следующие значения β = -16, γ = -16, δ = 1.

Складываем все четыре уравнения, умноженные на соответствующие коэффициенты:

;

.

Эта аппроксимационная формула для второй производной более громоздкая, чем предыдущая, но она имеет более высокий порядок точности - четвертый. Для вычисления значения второй производной в -ом узле требуется знать значения функции в этом узле и в двух соседних узлах слева и справа. Таким способом могут быть получены формулы численного дифференцирования для производных любого порядка и оценена их точность.

Задача. Вывести одностороннюю аппроксимационную формулу 2-го порядка точности для первой производной

, используя разложение функции по формуле Тейлора.

Задача. Вывести аппроксимационную формулу 3-го порядка точности для первой производной y'_I, используя разложение функции по формуле Тейлора в соседних узлах.