Элементы теории погрешностей

При численном решении задачи неизбежно появление погрешности следующих трех типов:

погрешность задачи,

погрешность метода решения,

погрешность вычислений.

Погрешность задачи складывается из погрешности математической модели и погрешности начальных данных. Математическая формулировка задачи должна описывать основные законы процесса. Выбор математической модели требует глубокого понимания сущности явления. Погрешность, возникающая из-за несоответствия выбранной математической модели реальному процессу, как и погрешность, связанная с неточностью данных, входящих в описание задачи, является неустранимой погрешностью.

Для решения математических задач используются аналитические и численные методы. При использовании аналитических методов решение задачи можно представить в виде формул, в которые начальные данные могут входить в виде параметров. Для решения сложных задач чаще используются численные методы, которые позволяют свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. Численные методы позволяют получить решение задачи при конкретных начальных значениях.

Погрешность метода возникает в результате замены исходной математической задачи более простой вычислительной, например, решение дифференциального уравнения заменяется разностным уравнением.

В курсе вычислительной математики изучается, как можно сделать погрешность метода сколь угодно малой.

Погрешность вычислений или погрешность округлений возникает вследствие того, что компьютер работает с приближенными, усеченными до количества разрядов, значениями действительных чисел.

Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность числа равна разности между его истинным значением и приближенным , полученным в результате измерения или вычисления:

.

Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к приближенному значению числа.

.

Обычно точное значение числа неизвестно, поэтому находят предельную погрешность, являющуюся верхней оценкой модуля и ее принимают в качестве абсолютной погрешности приближенного числа , тогда как истинное значение находится в интервале .

Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, , ; .

Приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи этих чисел все значащие цифры верные. Значащимися цифрами считаются все цифры данного числа, начиная с первой ненулевой. Например, в числе 0,053 значащие цифры – 5 и 3, в числе 15,30 все четыре значащие.

Значащая цифра называется верной, если модуль погрешности числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Например,

, следовательно, все четыре значащие цифры – верные; если , следовательно, пять значащих цифр – верные.

На практике используют правило, согласно которому приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительной в среднем не более, чем на одну единицу, т. е. предполагается, что в самой записи приближенного числа содержится информация о его точности.

Чтобы результаты арифметических действий, совершаемых над приближенными числами, также соответствовали этому принципу, следует во всех промежуточных вычислениях сохранять на одну-две значащих цифры больше, чем это оправдывается точностью исходных данных или метода. Запасные значащие цифры затем должны быть отброшены.