Лабораторная работа № 6 «Аппроксимации»

1. Кусочно-линейная аппроксимация

Задача: Построить по заданным точкам ломанную линию.

Решение: Задается набор точек, и вычисляется их количество.

Каждые две соседние точки соединяются прямыми вида y=ax+b, для каждой из которых находятся коэффициенты a и b.

Задается функция

.

Строится график

2. Кусочно-квадратичная аппроксимация

Лабораторная работа № 7 Решение слау с помощью lu разложения

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью LU разложения.

Решение. Задается матрица коэффициентов A, вектор правой части B, а также матрицы L и U, которые будут в дальнейшем разложением исходной матрицы A. C клавиатуры вводится имя матрицы, знак присваивания вводится нажатием клавиши на панели Evaluation или клавишей [:], матрица вводится нажатием клавиши на панели Matrix. Количество строк и столбцов задается равным 4. Ввод нижнего индекса осуществляется с помощью клавиатуры следующим образом: нажимается клавиша [ [ ], вводится индекс, заканчивается ввод нажатием клавиши [→]. (Нумерация элементов матриц и векторов в MathCAD начинается с нуля).

Теперь выражаются формулы для расчета элементов треугольных матриц. Для этого необходимо посчитать произведение L и U в символьном (аналитическом) виде. Ниже введенных матриц выводится это произведение. С клавиатуры вводится выражение L(t)*U(t), вводится оператор символьного вывода нажатием клавиши на панели Symbolic, нажимается Enter.

Далее из уравнения L(t)*U(t)=A приравниваем каждый элемент полученного символьного произведения соответствующему элементу матрицы A.

Например, для нулевого столбца необходимо реализовать цикл для i от 0 до 3, и в нем присвоить t_i,0=A_i,0. Это действие выполняется в одной строке. С клавиатуры вводится имя циклически изменяемой переменной, знак присваивания, пределы изменения нажатием клавиши на панели Matrix. Ниже операция присваивания. Для проверки можно вывести значения найденных величин. Знак численного вывода водится клавишей на панели Evaluation.

.

Аналогичным образом вычисляются значения остальных коэффициентов для:

j от 1 до 3 t_0,j:=A_0,j/t_0,0 и t_i,1:= A_j,1-t_j,0*t_0,1;

j от 2 до 3 t_1,j:= (A_1,j-t_1,0*t_0,j)/t_1,1 и t_i,2:= A_j,2-t_j,0*t_0,2-t_j,1*t_1,2;

, ,

.

Скобки можно ввести c клавиатуры или клавишей на панели Calculator. Операция суммирования вводится клавишей на палении Calculus.

.

Лабораторная работа № 8 Численное интегрирование

Задача. Найти определенный интеграл от функции различными способами.

Решение. Зададим функцию и пределы интегрирования.

Лабораторная работа № 9 Обращение клеточной матрицы

Лабораторная работа № 10 Метод итераций

.

Лабораторная работа № 11 Метод прогонки

Лабораторная работа № 12 Метод Рунге-Кутта

Лабораторная работа № 13 Метод сеток для уравнения теплопроводности

Лабораторная работа № 14 Полином Лагранжа

Лабораторная работа № 15 Численное дифференцирование

5. Система аналитических вычислений Maple

В настоящее время в связи с ростом объема наукоемких дисциплин, открытием новых материалов, новых отраслей науки и производства возникает множество задач, решение которых все чаще связано с применением вычислительных систем разного рода и мощности. Ввиду меньшей стоимости и большей распространенности, модульности и простоты в применении преобладающие вычислительные системы – это персональные компьютеры, поэтому наибольшее распространение получили и программные вычислительные комплексы, построенные на их базе.

В начале применение программных комплексов подразумевало только численное решение, от отдельных задач до больших классов (интегрирование, интерполяция). Подобного рода задачи решались с использованием программирования на каком-либо языке (C++, Fortran, Pascal). Больше времени уходило на написание самого алгоритма, чем на использование его по назначению. Появление модульного принципа в программировании несколько ускорило процесс создания математических программ, но отсутствие унификации применения, ограничение точности и необходимость знания самого программирования ограничивали круг возможностей.

В настоящее же время целый ряд систем позволяют более унифицированным способом производить не только численные, но и аналитические, и символьные вычисления с использованием функций комплексного переменного, а также программирования, что позволяет максимально повысить точность конечного результата. Практически тот же эффект достигается за счет того, что системы со временем стали более производительными и менее критичными к использованию действительных чисел большего размера, чем заложено системой. В итоге знание программирования стало не основным в решении математических задач. Программирование свелось к умелому применению простого и интуитивного синтаксиса.

Примерами современных программных вычислительных систем являются: Maple, Mathcad, Mathematica, MathLab и многие другие. Каждая обладает определенными постоянно совершенствующимися свойствами, которые определяют преимущество в сравнении с остальными системами. Но существуют и недостатки. Таким образом, у каждой системы сложился свой круг применения.

Наиболее простой системой из вышеперечисленных является Mathcad. Отличается она наглядностью формул, что позволяет свободно формировать рабочий лист таким, как он будет выглядеть в результате. Недостатки заключаются в следующем. Во-первых – это несовместимость версий программы, что создает определенные трудности. Во-вторых, жесткое ограничение на размер действительных чисел, что ограничивает класс и точность самих вычислений. В-третьих, плохо реализованные аналитические вычисления. Системой не гарантируется получение аналитического решения в каждом конкретном случае. Mathcad наиболее применима в общеобразовательных учреждениях для использования в качестве системы, производящей простые не громоздкие вычисления. Подобных программ и систем множество.

Системой, наиболее крепко завоевавшей позиции в секторе наукоемкого производства, является MathLab. Родственна с некоторым языкам программирования. Свою популярность она получила как система, в которой наиболее эффективно реализованы многие способы вычислений, программирование, математическое моделирование различных процессов. Также она отличается способностью интегрироваться в качестве математического обеспечения в другие системы и программы. Таким образом, система наиболее эффективна, но достаточно сложна.

Систем, разделяющих оставшуюся часть рынка, очень не много. Одна из них – наиболее яркая, это Maple. В данном пособии приводятся примеры и основы синтаксиса, начиная с Maple 7 до Maple 11, хотя разницы увидеть невозможно. Синтаксис за время существования системы получил только дополнения, т. е. он полностью совместим с предыдущими версиями. Изменению подверглась оптимизация. Многие функции стали вычислять значения быстрее. Добавились дополнительные библиотеки. Постоянная работа разработчиков над производительностью, оптимизацией системы и качеством справочного пользовательского материала определяет приоритет в выборе именно данного программного комплекса.

Особенности Maple позволяют равнозначно в полной мере использовать возможности системы как в математическом моделировании ответственных производственных или научных процессов, так и для обучения студентов при решении простых задач курса математического анализа или дифференциального и интегрального исчисления.

Также как и в MathLab, синтаксис Maple близок студентам специальностей, связанных с использованием языков программирования, хотя благодаря интуитивности и простоте, освоить его можно, не имея специальных знаний.

На сайте http://www.math.rsu.ru сообщается следующее: «Система компьютерной алгебры (символьных или аналитических вычислений) Maple является одним из лидеров среди универсальных систем и обеспечивает пользователю удобную и интеллектуальную среду для математических исследований. Сам пакет широко распространен в университетах ведущих научных держав, исследовательских центрах и компаниях. При этом пакет Maple развивается, вбирая в себя новые умения, новые разделы математики и обеспечивая лучшую среду для работы»

На сайте http://soft.softline.ru можно найти следующую информацию: «Основной программный продукт, выпускаемый университетом Ватерлоо, пакет Maple, называют системой символьных вычислений, или системой компьютерной алгебры. Он предназначен для выполнения самых различных математических вычислений, как аналитических, так и символьных, и поистине является бриллиантом среди подобного класса математических пакетов. Его интерфейс интуитивно понятен, правила работы предельно просты, а возможности внушительны. Он стал незаменимым средством в работе математиков и инженеров, студенты с его помощью легко справляются с труднейшими задачами. При работе с пакетом возникает ощущение роста собственных математических знаний, так легко решаются сложнейшие задачи, за которые Вы не взялись бы, не будь под рукой Maple.