Лабораторная работа № 4 Разложение функций в ряд Фурье пополиномам Лежандра

Задача. Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра функции: 1) полиномиальную непрерывная функция, 2) неполиномиальную функцию, непрерывную на [-1;1], 3) функцию, имеющую разрыв 1-го рода. Для каждого разложения посчитать среднеквадратичное отклонение и среднеквадратичное уклонение, построить графики.

Решение. 1. Сначала задается раскладываемая функция, требуемая точность и формула для вычисления коэффициентов разложения, в которую входит встроенная функция Leg(n,x), возвращающая полином Лежандра n-ой степени, который вычисляется по формуле . Определенный интеграл в последнем выражении вводится нажатием клавиши на панели Calculus.

Далее определяется максимальное число слагаемых, необходимых для наилучшего приближения функции. Вводится имя переменной, ставится знак присваивания. Далее вводится программный модуль. Для него требуются четыре строки. Для добавления строк служит клавиша на панели Programming, т.е. к имеющейся одной необходимо добавить еще три. Для этого данная клавиша нажимается трижды. Внутри программного модуля знак присваивания «←» вводится нажатием клавиши панели Programming. На третьей строке модуля стоит цикл с предусловием. Он вводится нажатием клавиши на панели Programming. В теле цикла добавляется еще одна строка.

Вычисляется среднеквадратичное отклонение:

Составляется разложение функции:

Потом находится среднеквадратичное уклонение:

И, наконец, строится график.

2. Для неполиномиальной непрерывной функции алгоритм будет таким же. Выполнить самостоятельно.

3. Функция, имеющая 1 разрыв 1-го рода задается так: вводится ее имя, ставится знак присваивания, добавляется одна строка. В начале каждой строки задается значение функции, нажатием клавиши на панели Programming вводится условный оператор. Логические операторы сравнения «≤» и «≥» вводятся нажатием клавиш и соответственно на панели Boolean.Например:

Точность вычислений взять равной 10^-2. Далее весь алгоритм такой же, как в первом случае. Реализовать самостоятельно.

Лабораторная работа № 5 Решение дифференциального уравнения второго порядка

Задача. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями методом прогонки. Построить график.

Решение. Перед тем как решать уравнение методом прогонки, над его левой частью необходимо выполнить некоторые преобразования. В MathCAD ее можно представить в виде функции:

где X(i,y,h)=y’’ и Y(i,y,h)=y’. Первая и вторая производные задаются через апроксимационные формулы:

После чего левая часть принимает вид:

Теперь осуществляется приведение к общему знаменателю.

Далее необходимо относительно h (шага по x) раскрыть скобки. С клавиатуры вводится имя функции, знак присваивания, на панели Symbolic нажимается клавиша , слева от появившейся функции «■ expand, ■» вводится имя выражения, в котором раскрываются скобки, справа - имя переменной. Нажимается ввод. Внимание! Новая функция уже не зависит от X и Y.

Приводятся подобные. С клавиатуры вводится имя функции, знак присваивания, на панели Symbolic нажимается клавиша , слева от появившейся функции «■ collect, ■» вводится имя выражения, в котором приводятся подобные, справа через запятую - имена переменных, по которым собираются подобные. Нажимается ввод.