Лабораторная работа №3 Построение уравнений регрессии
Задача. Для данного набора точек на плоскости построить методом наименьших квадратов кривую, наименее от них отклоняющуюся, нескольких видов: 1) полиномиальная регрессия; 2) гиперболическая регрессия; 3) степенная регрессия; 4) показательная регрессия. Для данного набора точек в пространстве построить методом наименьших квадратов поверхность, наименее от них отклоняющуюся, нескольких видов: 5) линейная регрессия; 6) экспоненциальная регрессия; 7) квадратичная регрессия. Для каждой кривой (поверхности) рассчитать остаточную дисперсию. Посмотреть, в каком случае она будет минимальной.
Решение. 1.
Полиномиальная регрессия представляется
в виде
.
Дисперсия для нее рассчитывается как
.
Для определения коэффициентов ai, при которых отклонение будет минимальным, необходимо по каждому из них взять производную:
и приравнять ее к нулю для получения системы уравнений:
Для решения задачи в MathCAD сначала требуется задать векторы точек:
Затем определить количество точек и степень полинома.
Коэффициенты левой и правой частей системы уравнений вычисляются в двойном цикле.
Решается система уравнений.
Теперь задается полином.
Далее строится график и рассчитывается остаточная дисперсия.
Формула для расчета остаточной дисперсии для всех случаев на плоскости будет одинаковой.
2. Гиперболическая
регрессия представляется в виде
.
Реализовать самостоятельно.
3. Построение уравнения степенной регрессии выполняется в новом документе. Сначала, как в первом случае, задаются векторы точек и вычисляется их количество.
Степенная регрессия
представляется в виде
.
Для нее дисперсия рассчитывается по
формуле
,
которая получается логарифмированием
обеих частей. Если взять производные
по коэффициентам и приравнять их к нулю,
получится система уравнений:
ее коэффициенты в MathCAD вычисляются по формулам:
.
Решается система уравнений.
В результате решения системы были найдены величины ln(a0) и a1, поэтому необходимо посчитать значение a0:
,
теперь можно посмотреть найденные величины:
Задается степенная функция.
Строится график и рассчитывается остаточная дисперсия.
4. Показательная
регрессия представляется в виде
.
Реализовать самостоятельно.
5. Линейная регрессия
в пространстве представляется в виде
.
Дисперсия для нее вычисляется по формуле
.
Для определения коэффициентов ai
берутся частные производные:
которые приравниваются к нулю. Получается система уравнений:
Исходные данные для построения поверхности задаются в виде векторов и определяется количество точек.
Коэффициенты системы в MathCAD вычисляются по формулам:
.
Теперь решается система уравнений и выводятся найденные величины.
Далее задается уравнение поверхности.
Строится ее график.
На панели
Graph
нажимается клавиша
и внизу появившегося шаблона пишется
Z.
График можно вращать, водя по нему
указатель мыши при нажатой левой клавише.
И, наконец, находится остаточная дисперсия.
6. Экспоненциальная
регрессия представляется в виде
.
Формула дисперсии получается
логарифмированием обеих частей и
суммированием по всем точкам:
Снова берутся производные по коэффициентам ai и приравниваются к нулю:
Снова задаются исходные данные для построения поверхности и количество точек.
В MathCAD коэффициенты этой системы вычисляются по формулам:
.
Потом решается система:
В результате решения системы были найдены величины ln(a0), a1, a2; поэтому необходимо посчитать значение a0:
Теперь можно посмотреть найденные величины.
Задается уравнение поверхности.
.
Рассчитывается остаточная дисперсия:
7. Квадратичная
регрессия для двух переменных
представляется в виде:
.
Реализовать самостоятельно.