4. Уравнения в частных производных…………………………………………65

5. Численные методы линейной алгебры……………………………………...73

Матрицы и действия над ними…………………………………………………….73

Клеточные матрицы……………………………………………………………..…80

Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц……………...83

Итерационные методы……………………………………………………………..88

Метод Якоби………………………………………………………………………..94

Метод Зейделя………………………………………………………………..96

Введение

Вычислительная математика является одной из основных дисциплин, входящих в учебный план подготовки специалистов в области информатики и компьютерной техники.

Предмет изучения вычислительной математики – методы решения и исследования математических задач, которые чаще всего не могут быть решены точно, аналитически. Такие задачи решают численно – приближенно с некоторой погрешностью.

Математика осваивает технологии приближенных вычислений в течение нескольких веков, и за это время был сформирован математический аппарат численного решения алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, численного дифференцирования и интегрирования. Первые результаты в этом направлении связаны с именами Л. Эйлера, И. Ньютона, но современные численные методы были предложены совсем недавно, в конце XX века.

Изучение курса вычислительной математики предполагает не только освоение теоретических основ методов, но и изучение возможностей, которые предоставляют исследователю современные вычислительные средства. Для работы с математическими пакетами достаточно знания основных идей и понимания особенностей в применении численных методов, чтобы решить научную или инженерную задачу, провести сравнительный анализ результатов.

Практикум по вычислительной математике содержит решения основных типовых заданий в пакете MathCad, предлагаемые студенту для самостоятельной работы, а также краткое описание и примеры решений некоторых задач в системе аналитических вычислений Maple.

1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Основные понятия

В вычислительной математике рассматривается не только вопрос, как решить некоторый тип задач, но и как оценить погрешность, возникающую при его решении. Насколько отличается приближенное решение от точного решения той же самой задачи? Будет ли разница между точным и приближенным решениями стремиться нулю при продолжении и уточнении вычислительного процесса, т.е. будет ли численный метод сходящимся?

В технике очень часто исходные данные, используемые для решения задачи, бывают получены опытным путем, т.е. в них изначально присутствует некоторая погрешность эксперимента. Как повлияет эта погрешность начальных данных на точность конечного результата, на точность решения? Численные методы, обеспечивающие малую погрешность результата при малой ошибке в исходных данных, называются устойчивыми.

Сходимость и устойчивость являются главными достоинствами вычислительной схемы, но также очень важна скорость сходимости. Для того чтобы её оценить, стараются получить конкретную зависимость погрешности результата вычислений от параметров вычислений, обычно в виде , где М – некоторая постоянная, неизвестная при вычислениях, h – шаг вычислений – параметр, выбираемый исследователем самостоятельно. Тогда постоянная k называется порядком точности метода. Чем выше порядок k, тем легче, уменьшая шаг h, добиться уменьшения погрешности.

Для того чтобы вычислитель имел возможность выбрать из множества методов тот, который наиболее пригоден для решения конкретной задачи, ему требуется знание основ численного моделирования.