Клеточные матрицы

При вычислениях с матрицами большой размерности удобно разбить их на клетки с помощью вертикальных и горизонтальных линий-разделителей и с полученными матрицами меньших размеров работать.

.

Над клеточными матрицами можно производить операции сложения и умножения, работая с клетками матрицы как с элементами обычной матрицы.

Рассмотрим , , где – матрицы одного и того же типа и разбиения, тогда их сумма и произведение будет:

; .

Можно разбить матрицу -ого порядка на клетки так называемым окаймлением, т. е. выделяем матрицу размерности (n – 1), последние строку, столбец и матрицу первого порядка – :

.

Действия над окаймленными матрицами проводят также, как действия над клеточными матрицами.

Обращение матриц разбиением на клетки

Задача решения линейной неоднородной системы уравнений и задача обращения матрицы тесно связаны друг с другом. Если требуется решить систему , и для матрицы известна обратная матрица , то получим . Рассмотрим обращение клеточных матриц.

Пусть – клеточная матрица размерности , в которой матрицы и – квадратные, причем . Найдем обратную матрицу , в которой матрицы также квадратные.

По определению , где единичная матрица также клеточная, в которой – единичные матрицы соответствующих порядков

.

Перемножив матрицы и приравняв соответствующие элементы,

,

получим:

Полагаем, что , т.е. существует обратная матрица , тогда

;

; ;

; ;

.

Таким образом, если вычисления начинаются с , то используем следующие формулы:

;

;

;

.

Вторая группа формул используется если обращение начинается с :

.

В практикуме разобран пример решения системы четвертого порядка в пакете Mathcad.

Разложение матрицы на произведение двух треугольных матриц

Матрица называется нижней треугольной, если элементы, стоящие выше ее главной диагонали, равны нулю: если :

, .

Матрица называется верхней треугольной, если элементы, стоящие ниже ее главной диагонали, равны нулю: .

Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов .

Обратная матрица неособенной треугольной матрицы также треугольная матрица того же ранга и структуры. Матрица, обратная к левой треугольной, является левой треугольной, обратная к правой – правой треугольной.

Например, возьмем нижнюю треугольную матрицу:

, .

Выпишем алгебраические дополнения элементов:

тогда обратная матрица будет:

,

т. е. – алгебраические дополнения ненулевых элементов строго нижней треугольной матрицы равны нулю:

; .

Теорема. Если квадратная матрица имеет отличные от нуля главные миноры , ,…, и т. д., то ее можно разложить на произведение двух треугольных матриц (верхней и нижней). Это разложение будет единственным, если задать диагональные элементы одной из матриц отличными от нуля, например, положить их равными единице.

Пусть , будем рассматривать вывод формул на примере матриц четвертого порядка:

; .

Перемножаем матрицы:

,

приравниваем соответствующие элементы матриц

.

Последовательно решая одночленные, двучленные и т.д. уравнения получим

, , , ;

, ;

, … ;

, ;

.

Таким образом, для матриц порядка , получим формулы общего вида:

, – элементы матрицы ;

, – элементы матрицы .

Такое разложение матриц на две треугольные называется LU – разложение (от английского left – right).

При практическом разложении нужно иметь в виду, что поскольку в формулах для матрицы выполняется деление на диагональные элементы , то удобнее делать проверку на равенство нулю этих элементов, вместо проверки на равенство нулю главных миноров.

Отметим, что для матриц с диагональным преобладанием, для которых верно

,

условия теоремы о LU – разложении заведомо выполняются.

Обратим матрицу, которая представлена произведением двух треугольных: ; ;

; ;

.

Приравнивая элементы произведения соответствующим элементам единичной матрицы , получим

, , ;

, .

Аналогично обращается матрица .

Решение СЛАУ с помощью LU – разложения

Если матрица исходной системы уравнений

(5.2)

разложена на произведение двух треугольных матриц или , значит можно записать эквивалентное уравнение

.

Введем в рассмотрение матрицу-столбец промежуточных неизвестных:

,

тогда решение системы с исходной матрицей (5.2) сводится к решению системы двух матричных уравнений:

каждое из которых имеет треугольную матрицу. Решая последовательно вначале систему , находим – вектор вспомогательных переменных, затем решаем систему и находим , как если бы выполняли обратный ход метода Гаусса.

Получим формулы для вспомогательных неизвестных :

, ,

, ;

, ;

. (5.3)

Решаем систему , получим:

; (5.4)

. (5.5)

Отметим, что выполнение расчетов по формулам (5.3,5.5) представляет собой преобразование системы (5.2) к треугольной системе (5.4), которая полностью совпадает с результатом прямого хода метода Гаусса. Таким образом, решение линейных систем с помощью LU-разложения является просто другой реализацией метода Гаусса. Схему LU-разложения еще называют схемой Холецкого (1875-1918 – французский математик-геодезист). Однако в применяемых математических пакетах, таких как MathCad, схемой Холецкого называют метод решения систем с симметричной матрицей (метод квадратного корня).

При решении систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами с использованием компьютера происходит подмена арифметики действительных чисел машинной арифметикой, т. е. действия совершаются с усеченными до определенного количества разрядов числами. Практически всегда вместо точного решения СЛАУ прямой метод дает приближенное решение – . Рассмотрим разность

,

где – вектор невязок. По малости полученных невязок или нормы вектора можно судить о близости в некотором смысле найденного решения к точному решению .