5. Численные методы линейной алгебры

К задачам линейной алгебры относятся: решение систем линейных алгебраических уравнений, обращение матриц, вычисление определителей, нахождение собственных значений матриц.

Методы линейной алгебры можно разделить на две группы: точные и итерационные. Точные методы дают решение задачи при помощи конечного числа элементарных арифметических операций. При этом, если исходные данные заданы точно (целочисленные значения или рациональные числа в виде обыкновенных дробей), то и решение получится точным.

Итерационные методы дают приближенное решение задач линейной алгебры как предел последовательности приближений, вычисляемых единообразным способом. Один цикл вычислений называется итерацией. При применении итерационных методов существенными являются вопросы сходимости и скорости сходимости последовательности приближений.

Матрицы и действия над ними

Матрица размерности  это прямоугольная таблица чисел, имеющая строк, столбцов. Обозначается , где ,

.

Элемент находится на пересечении строки, столбца, элементы образуют главную диагональ матрицы.

Если число строк равно числу столбцов, , то матрица квадратная.

Матрица, имеющая один столбец, , называется матрица- столбец. Матрица, имеющая одну строку, , называется матрица-строка. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю . Матрица называется единичной, если все элементы на главной диагонали равны единице, а элементы ниже и выше главной диагонали равны нулю:

.

Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю: . Матрица называется нижней треугольной, если все элементы выше главной диагонали равны нулю: .

Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы, расположенные выше и ниже главной диагонали, одинаковые .

С любой квадратной матрицей может быть связана ее числовая характеристика – определитель, который обозначается .

Минором порядка определителя порядка называется определитель, получающийся после вычеркивания в исходном определителе некоторых строк и столбцов. Рангом матрицы называется наибольший порядок миноров данной матрицы, отличных от нуля. Если ранг матрицы равен , то существует хотя бы один минор в матрице порядка , отличный от нуля, а все миноры порядка либо равны нулю, либо не существуют.

Матрицы и одинаковой размерности называются равными, если их соответствующие элементы равны: .

Сложение матриц. Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц

.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица , все элементы которой получены из элементов матрицы умножением на

Транспонирование матрицы. Если строки и столбцы матрицы поменять местами, то получится транспонированная матрица .

Произведение матриц. Произведением матриц называется матрица, элементы которой получаются по правилу строка-столбец . Элемент матрицы равен сумме попарных произведений элементов строки матрицы на элементы строки матрицы .

Произведение матриц определено только если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Для квадратных матриц и матрица не всегда равна матрице . В связи с этим принято различать произведение матрицы на справа и произведение матрицы на слева.

Только в некоторых случаях операция умножения матриц коммутативна. Матрицы, для которых , называются перестановочными. Единичная матрица является перестановочной для всех квадратных матриц.

Перестановочными являются две диагональные матрицы.

Произведение квадратных матриц одного порядка есть квадратная матрица того же порядка. Произведение прямоугольной матрицы на матрицу –столбец есть матрица-столбец. Произведение матрицы-строки на прямоугольную матрицу есть матрица-строка. Произведение матрицы-строки на матрицу-столбец есть квадратная матрица.

Свойства действий над матрицами.

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Степень матрицы определяется как , при том, что . Матричным полиномом степени будем называть выражение вида

.

Обратная матрица. Матрица называется обратной к матрице А, если

.

Нахождение обратной матрицы называется обращением матрицы.

Квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, называется неособенной, или невырожденной. Если , то матрица называется вырожденной.

Всякая квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу

.

Здесь – алгебраические дополнения элементов матрицы, – минор элемента , который получается вычеркиванием из матрицы -ой строки и -ого столбца.

Свойства обратной матрицы.

, , .

Собственные значения матрицы. Вектор называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным числом матрицы , если .

Из курса линейной алгебры известно, что собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Если все собственные значения матрицы различны, то существует невырожденная матрица такая, что , а , где – диагональная матрица

.

Решение систем линейных уравнений матричным способом

Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений с неизвестными:

(5.1)

Определим основную матрицу системы , как матрицу, образованную из коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец и матрицу- столбец неизвестных :

, , .

Всякую систему линейных уравнений (5.1) можно записать в матричном виде:

.

Если – матричное уравнение с квадратной матрицей, определитель которой не равен нулю, тогда решение можно найти в виде

.

Всякая система линейных уравнений с определителем основной матрицы, не равным нулю, имеет единственное решение.

На практике эффективность решения системы (5.1) зависит от свойств матрицы . Например, при большой размерности системы использование формул Крамера для нахождения неизвестных становится труднореализуемым, т. к. для вычисления определителя порядка требуется умножений. Факториальный рост количества арифметических операций с увеличением размерности задачи – очень быстрый рост – называют “проклятием размерности”. По тем же причинам обращение матрицы через алгебраические дополнения практически непригодно.

Рассмотрим для начала прямые методы решения систем, которые достаточно просты и универсальны. Существенным недостатком прямых методов является накапливание погрешностей в процессе вычислений, которые на любом этапе используют результаты предыдущих операций.

При использовании итерационных методов погрешности не накапливаются, т. к. точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений. Итерационные методы предпочтительнее в случае большого числа уравнений и плохо обусловленных систем.

Системы уравнений называются плохо обусловленными, если малые погрешности вычислений или исходных данных могут привести к существенным погрешностям в решении, например, когда определитель системы близок к нулю.

Норма матрицы

Под нормой матрицы понимается некоторое действительное число . Матрица: определяется тремя нормами:

1) максимальная сумма модулей элементов по строкам;

2) максимальная сумма модулей элементов по столбцам;

3) корень из суммы квадратов всех элементов.

Иногда , здесь – собственные числа матрицы .

Пример. Найти нормы матрицы : ,

, , .

Свойства нормы:

1) , причем норма равна нулю только для нулевой матрицы;

2) ;

3) ;

4) .

Аналогично наиболее употребительные нормы для векторов :

1) ;

2) ;

3) .