Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Если в интеграл вместо функции подставить ее интерполирующий многочлен Лагранжа , то получим семейство квадратурных формул Ньютона-Котеса

.

Для равноотстоящих узлов полином Лагранжа будет:

,

где – шаг интерполяции, , тогда:

;

; .

Здесь – коэффициенты Ньютона-Котеса. Они не зависят от , а зависят только от числа узлов интерполяции , следовательно

, ;

, ;

, ;

, .

Тогда формула Ньютона-Котеса имеет вид:

.

Частный случай :

;

, ,

– формула трапеций.

Частный случай , :

, ,

, – формула Симпсона. Аналогично при получим формулу трех восьмых:

.

Погрешность формулы трех восьмых на шаге .

Экстраполяция по Ричардсону

Пусть – два приближенных значения интеграла , вычисленных по одной и той же формуле при и . Тогда более точное значение этого интеграла можно найти:

,

где m – порядок погрешности на одном шаге выбранной формулы.

Для формулы трапеций m = 2, формулы Симпсона – m = 4.

Квадратурные формулы Гаусса, Чебышева

Общий вид квадратурной формулы:

(3.1)

здесь – узлы интегрирования, – весовые функции. Определенный интеграл приближенно равен средневзвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования.

В предыдущих квадратурных формулах брались равноотстоящие узлы с шагом , и весовые коэффициенты получались заменой подынтегральной функции на кусочно-постоянную (формула прямоугольников), кусочно-линейную (формула трапеций), кусочно-квадратичную ( формула Симпсона).

Для получения более точных формул откажемся от равномерного распределения узлов. Удобно сделать замену:

,

тогда интеграл по произвольному промежутку преобразуется в интеграл по стандартному промежутку :

.

Таким образом, без потери общности можно рассматривать интеграл:

, (3.2)

здесь – число узлов интегрирования.

В выражение для погрешности квадратурных формул входит производная некоторого порядка от функции, т. к. производная порядка равна нулю для полинома степени , то квадратурная формула верна для многочленов степени (k – 1). Например, формула односторонних прямоугольников точна для полиномов нулевого порядка, ; формула центральных прямоугольников – для линейных полиномов, формула трапеций – для линейных полиномов, ; формула Симпсона – для кубических полиномов, .

Потребуем, чтобы квадратурная формула (3.2) была точна для полинома степени , где – число узлов.

Формула Чебышева

Пусть все весовые коэффициенты равны . Получим формулу Чебышева, точную для полиномов степени . Считая, что равенство (3.2) будет точным для функций , имеем: , тогда квадратурная формула примет вид:

. (3.3)

Подставим в формулу (3.3) и, считая равенство (3.3) точным, получим уравнение : .

Подставляя поочередно , получим систему уравнений:

(3.4)

Доказано, что эта специфическая система уравнений с неизвестными (3.4) определяет единственный набор при . Эти узлы вычислены с высокой точностью и затабулированы. При и система (3.4) не имеет действительных решений.

Формула Гаусса

Рассмотрим общий вид квадратурной формулы (3.2). В ней неизвестными являются параметров: узлов и весовых коэффициентов .

Подберем и так, чтобы равенство было точным для полиномов степени или для степенных функций:

.

Подставляя в точное равенство (3.2) поочередно эти функции, получим:

(3.5)

Решение системы (3.5) весьма затруднительно, но, оказывается, узлами квадратурной формулы в этом случае являются корни полиномов Лежандра , которые принадлежат интервалу и расположены симметрично относительно начала координат, а веса находятся интегрированием базисных многочленов Лагранжа степени :

. (3.6)

Напомним, что полиномы Лежандра определяются рекуррентной формулой Родрига:

и являются ортогональными полиномами с весом на отрезке

Докажем, что при таких и формула (3.2) будет точна при подстановке в нее вместо любого многочлена степени .

Пусть . Согласно теореме о делении полинома на полином с остатком, существуют такие полиномы и , что:

.

Подставим это выражение в левую часть формулу (3.2) .В силу линейной независимости полиномов Лежандра и их попарной ортогональности всегда найдется набор , таких, что

,

тогда

,

. (3.7)

Теперь преобразуем правую часть формулы (3.1):

,

здесь – базисный многочлен Лагранжа. Покажем, что при таком формула будет точна:

.

В левой части последнего равенства под интегралом стоит интерполяционный многочлен Лагранжа степени , составленный по значениям , который в силу своей единственности однозначно восстанавливается интерполированием. Тогда верно точное равенство:

.

Отсюда ясно, что указанные значения и являются узлами и весовыми коэффициентами квадратурной формулы Гаусса.

Запишем теперь общую квадратурную формулу для интеграла по промежутку :

.

Оценка погрешности квадратурных формул Гаусса, Чебышева говорит о существенно более быстром убывании погрешности с ростом числа узлов для достаточно гладких интегрируемых функций. При существуют таблицы (см. табл.3.1).

Таблица 3.1.

	Формула Чебышева		Формула Гаусса
2	0,577350	1	0,577350	1
3	0 0,707107		0 0,774597
4	0,187592 0,794654		0,339981 0,861136	0,652145 0,347855
5	0 0,374541 0,832497		0 0,538469 0,906180	0,568889 0,478629 0,236927

В практикуме рассмотрены примеры вычисления интегралов по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, формулам Гаусса и Чебышева для с помощью вычислительного пакета Mathcad. Очевидно, что использование формул Гаусса и Чебышева позволяет достичь высокой точности при существенно меньшем объеме вычислений в сравнении с другими квадратурными формулами.