Ортогональные полиномы

Приведем некоторые сведения справочного характера об ортогональных полиномах.

Полиномы Лежандра наиболее употребительные из классических ортогональных полиномов. Для полиномов Лежандра известна порождающая их формула Родрига:

.

Справедлива рекуррентная формула

, .

Используя рекуррентное соотношение и первые полиномы, получим:

,

,

.

Полиномы Лежандра ортогональны с весом на отрезке :

.

Нормой системы полиномов Лежандра называется

.

Полином Лежандра имеет ровно корней на интервале ,

полиномы любого порядка ограничены , для .

Полиномы Чебышева образуют ортогональную систему функций на отрезке [-1, 1] с весом :

.

Выпишем несколько первых полиномов Чебышева:

,

,

.

Полиномы Лагерра ортогональны на промежутке с весовой функцией :

Используя рекуррентное соотношение

, можно получить несколько первых полиномов Лагерра:

,

,

.

Полиномы Эрмита ортогональны с весом на всей числовой оси:

Используя рекуррентное соотношение ,

и подставляя последовательно , получим:

,

,

.

Полиномы Эрмита имеют структуру подобную полиномам Чебышева.

3. Численное интегрирование Простейшие квадратурные формулы

Многие практические задачи сводятся к вычислению определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги, объема тела вращения, работы переменной силы и т.д. Из курса математического анализа известно, что определенный интеграл для функции , имеющей на конечное число точек разрыва первого рода, является пределом интегральной суммы Римана

.

Здесь – произвольная точка, принадлежащая отрезку разбиения. Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. В случае, если первообразную для подынтегральной функции нельзя выразить через элементарные функции или задана в виде таблицы, используются приближенные методы интегрирования.

Специальные приближенные формулы для вычисления определенного интеграла называются квадратурными.

Простейшими квадратурными формулами являются формулы прямоугольников, которые можно вывести прямо из определения. При этом отрезок разбивается равноотстоящими точками на частей:

.

Здесь - шаг интегрирования, тогда квадратурная формула имеет вид:

.

Если в качестве точки выбрать левую границу отрезка разбиения, получим формулу левых прямоугольников:

Если в качестве точки выбрать правую границу отрезка разбиения, получим формулу правых прямоугольников:

Для монотонной функции формулы левых и правых прямоугольников дают двустороннее приближенное значение интеграла и с избытком и с недостатком.

Если в качестве точки выбрать середину отрезка разбиения, получим формулу средних прямоугольников:

.

Проведем оценку погрешности на одном шаге интегрирования для формулы левых прямоугольников:

.

Используя формулу Лагранжа: , преобразуем

, тогда погрешность формулы односторонних прямоугольников на шаге интегрирования определяется

при условии ограниченности производной . Для шагов погрешность накапливается и становится величиной порядка :

.

Аналогично оценим погрешность для формулы средних прямоугольников. Разложим функцию по формуле Тейлора в точке :

;

тогда

.

Следовательно, погрешность формулы средних прямоугольников на одном шаге интегрирования – . Погрешность этой квадратурной формулы на n шагах, которая называется еще глобальной погрешностью, в силу суммирования, будет величиной второго порядка по – :

.

Таким образом, квадратурная формула с центральной точкой при том же объеме вычислений на порядок точнее, чем формула левых или правых прямоугольников.

Квадратурная формула трапеций получается при замене дуги графика подынтегральной функции на отрезке разбиения стягивающей ее хордой. Значение определенного интеграла численно равно площади трапеции, тогда получим:

.

Погрешность формулы трапеций на одном шаге , погрешность в целом или глобальная погрешность будет – .

Формула Симпсона получается при замене подынтегральной функции параболой, ось которой параллельна оси . Получим приближенное значение интеграла для трех соседних точек, через которые проходит парабола:

,

тогда суммируя приближенные значения интеграла по всем отрезкам разбиения, получим:

Погрешность формулы Симпсона на одном шаге составляет величину

,

глобальная погрешность – .

Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее значение интеграла, полученное приближенным методом. Порядок погрешности указывает, что при уменьшении в 10 раз, погрешность по формуле односторонних прямоугольников уменьшится в 10 раз, по формуле средних прямоугольников – в 100 раз, а по формуле Симпсона – в 10⁴ раз.