Метод наименьших квадратов
Если набор точек
получен из эксперимента с некоторой
погрешностью, то не имеет смысла
использовать интерполяцию полиномами
Лагранжа или сплайнами для обработки
результатов.
В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживая возможные выбросы за счет погрешности эксперимента.
Будем рассматривать
непрерывную функцию
,
аппроксимирующую дискретную зависимость
.
Подберем функцию
так, чтобы сумма квадратов отклонений
во всех точках была бы минимальной:
(2.11)
Метод построения аппроксимирующей функции из условия минимума S называется метод наименьших квадратов.
Наиболее распространен выбор в виде обобщенного полинома:
,
(2.12)
где
– базисные функции. Формула для
определения суммы квадратов отклонений
будет иметь вид:
.
Продифференцируем
по переменным и приравняем производные
нулю:
,
;
,
.
(2.13)
Здесь
– скалярное произведение дискретных
функций. Таким образом, получили систему
линейных уравнений (2.13) относительно
неизвестных
.
Основная матрица системы – матрица Грама составлена из попарных скалярных произведений дискретных функций:
.
Аналогично определим
скалярное произведение дискретной
функции
:
.
Матрица Грама
симметричная, положительно определённая,
ее определитель не равен нулю, если
– линейно независимые.
Обычно начинают
с одной или двух базисных функций, если
,
где
– погрешность экспериментальных данных,
то добавляют новые
,
пока
.
Выбор конкретных базисных функций
зависит от свойств
– периодичности, логарифмического или
экспоненциального характера.
Нередко для исследователя требуется не только аппроксимирующая функция, но и ее производные, которые можно найти дифференцированием аппроксимирующей функции:
.
Аналогично можно найти производные второго и более высоких порядков.
Степенной базис
Выберем в качестве
базисных функций степенные
,
тогда
.
В этом случае, как
и при интерполяции, аппроксимируем
экспериментальную зависимость полиномом,
однако здесь
,
обычно
.
При
получим интерполирующий полином
Лагранжа.
В случае степенного базиса система (2.13) примет вид:
Для формирования расширенной матрицы достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы можно заполнить присвоением. Здесь предполагается суммирование под знаком суммы по всем от 0 до .
Если порядок
аппроксимирующего полинома
,
то можно решать систему методом Гаусса,
если
,
то разработан метод сингулярного
разложения решений такой системы
уравнений.
Частный случай
линейной аппроксимации
,
,
для нахождений
требуется решить систему уравнений:
.
Для квадратичной
аппроксимации
,
,
следует решить систему следующего вида:
.
Для наилучшего
выбора аналитической зависимости
следует
рассмотреть несколько вариантов и
выбрать тот, которому соответствует
наименьшее значение суммы квадратов
отклонений. В практикуме показано, что,
используя возможности вычислительного
пакета MathCad,
можно в качестве аппроксимирующей
функции выбирать разные зависимости
вида
,
,
.
Базис из ортогональных полиномов
Выбор степенных
функций
в качестве базисных не является
оптимальным с точки зрения решения
системы с наименьшими погрешностями.
Лучшие результаты можно получить, если
использовать
классические
ортогональные полиномы Чебышева,
Лежандра, Лагерра, Эрмита в качестве
базисных.
Ортогональность
полиномов означает, что скалярное
произведение полиномов разных порядков
равно нулю с определенной весовой
функцией
на определенном промежутке
,
.
Для дискретных функций, если точек много, приближенно интеграл можно заменить суммой :
,
тогда недиагональные элементы матрицы будут иметь значения, равные нулю (в действительности небольшую абсолютную величину), при этом матрица Грама становится диагональной, тогда сразу можно выписать значения коэффициентов разложения:
.
Такие коэффициенты разложения называются коэффициентами Фурье, а обобщенный многочлен с такими коэффициентами называется обобщенным многочленом Фурье.
Для наиболее
гладкого представления функций выбираются
полиномы Чебышева –
или
с коэффициентом при старшей степени
равным единице, тогда аппроксимирующий
полином имеет вид:
.