Интерполяция с равноотстоящими узлами
Рассмотрим систему равноотстоящих узлов интерполяции:
.
Будем обозначать , введем переменные:
,
.
Рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа первого порядка:
,
тогда получим:
.
Аналогично для :
.
В общем случае:
.
Поскольку при оценке погрешности интерполяционного полинома Лагранжа используется функция
,
где
,
то погрешность полинома Лагранжа с равноотстоящими узлами интерполяции равна
.
При этом
не
зависит от
,
следовательно, ее величину можно оценить
для любого
.
На практике редко используют
.
Функция
имеет большие значения ближе к концам
промежутка интерполяции
,
поэтому узлы выбирают так, чтобы нужная
точка находилась ближе к середине
интервала.
Кусочная аппроксимация
Кусочная аппроксимация – способ приближения таблично заданных функций с помощью составных звеньев, которые являются полиномами невысокой степени, допускающими гладкую стыковку.
Рассмотрим аппроксимацию кусочно-линейной функцией.
Пусть заданы точки
.
Будем требовать, чтобы ломаная проходила
через точки
. (2.5)
Будем строить функцию в виде:
Для нахождения
неизвестных коэффициентов получим
систем уравнений из условий (2.5):
.
Кусочно-квадратичная
аппроксимация
при четном числе отрезков интерполяции
имеет вид:
Каждая тройка
коэффициентов
может быть найдена последовательным
решением систем линейных уравнений
третьего порядка вида:
Сплайн- интерполяция
Сплайном называется функция, которая является многочленом на каждом частичном отрезке интерполяции, а на всем отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.
Пусть отрезок
разбит на
частей,
.
Максимальная по всем частичным отрезкам интерполяции степень многочлена называется степенью сплайна.
Разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на производной называется дефектом сплайна. Например, ломаная- непрерывная кусочно-линейная функция – это сплайн первой степени с дефектом единица. Чаще всего используются кубические сплайны
.
(2.6)
Для определения
коэффициентов
на всех
отрезках интерполяции требуется
уравнений. Часть из них можно получить
из условий:
,
.
(2.7)
В этой системе всего уравнений. Для получения недостающих условий зададим условия непрерывности первой и второй производных во внутренних узлах интерполяции, т. е. условия гладкости второго порядка кривой во всех точках:
(2.8)
Вычислим производные многочлена (2.6):
,
,
тогда из условий
(2.8) получим
уравнений:
;
(2.9)
,
.
Чтобы получить дополнительные условия, накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции, из условия нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках:
.
Приведем систему
уравнений к более удобному виду. Поскольку
все коэффициенты
уже известны, выразим
.
Подставим эти
соотношения и значения
в уравнение (2.7) и выразим оттуда
коэффициенты:
.
Исключив из
уравнения (2.9) коэффициенты
и
,
окончательно получим систему уравнений
только для коэффициентов
,
(2.10)
.
Здесь введен
фиктивный коэффициент
.
Данная система (2.10) имеет единственное
решение, т. к. выполняется условие
диагонального преобладания в матрице,
следовательно, существует единственный
кубический сплайн дефекта единицы. Для
решения системы целесообразно использовать
метод прогонки. По найденным из системы
коэффициентам
легко
вычислить коэффициенты
.