Многочлены Чебышева

Многочленом Чебышева , , называется функция

Подставим , , , –два первых полинома. Из тригонометрии известно тождество:

.

Сделаем замену и подставим в выражение:

,

тогда получим выражение

из которого, используя определение, получим рекуррентную формулу:

.

Подставляя известные , получим последовательность полиномов:

;

;

;

.

На рис. 2.1 изображены графики первых полиномов Чебышева.

Рис. 2.1. Графики полиномов Чебышева

Свойства полиномов Чебышева

1. Полиномы четного порядка – четные функции; нечетного порядка – нечетные.

2. Коэффициент при старшей степени полинома Чебышева при равен 2^n–1 (следствие рекуррентной формулы).

3. Полином степени имеет n действительных корней на интервале (-1, 1), найдем их:

.

Откуда нули полинома ; k = 0, 1,…, (n – 1) расположены неравномерно на интервале и сгущаются к его концам.

4. Полиномы Чебышева ограничены для . Максимум модуля полинома достигается в точках:

,

, ,

,

т. е. имеет максимумов (минимумов) на [-1, 1].

5. Многочлен среди всех многочленов -ой степени со старшим коэффициентом при равным единице, имеет на отрезке [-1, 1] наименьшее значение максимума модуля. называется многочленом, наименее уклоняющимся от нуля.

Докажем, что не существует полином n-ой степени со старшим коэффициентом равным единице, такой, что

(2.4)

Будем доказывать методом от противного: предположим, что существует , удовлетворяющий неравенству (2.4) такой, что разность – многочлен степени, не выше , причем . Кроме этого, в точках, являющихся точками экстремумов , эта разность принимает отличные от нуля значения с чередующимися знаками в силу того, что . Тогда – многочлен степени меньше чем n, обращается в ноль, по крайней мере, в n точках, что невозможно.

Другой вид полиномов Чебышева:

.

Пусть

.

Минимизация погрешности интерполяции полинома Лагранжа

Погрешность интерполяции полинома Лагранжа имеет вид:

.

Как выбрать узлы так, чтобы максимальная погрешность интерполяции была минимальной? Следует выбрать такое расположение узлов, чтобы .

Рассмотрим отрезок [-1, 1] и , наименее уклоняющийся от нуля.

Возьмем в качестве узлов корни полинома :

; .

При этом базисные полиномы Лагранжа будут:

,

тогда будет пропорциональна или

;

.

В силу свойств полиномов Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля, улучшить эту оценку погрешности за счет выбора других узлов нельзя. При любом выборе узлов интерполяции не совпадающих с корнями , оценка будет хуже, т. е. эта оценка является оптимальной.

Произвольный отрезок [a, b] можно отобразить на отрезок [–1, 1] заменой ;

тогда полиномы преобразуются по формуле

.

Узлы интерполяции будут:

;

.

Оптимальное распределение узлов является неравномерным – они сгущаются к концам и разрежены в середине.

При большом числе точек получаем интерполяционный полином Лагранжа высокой степени, который трудно использовать для практических вычислений. Можно разбить промежуток на части и на каждой использовать полином Лагранжа невысокой степени. В точках сшивки функция будет непрерывной, но производная будет иметь разрыв.