Федеральное агентство по образованию

Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

А.А. Бочарова, Е.П. Луппова, А.А. Ратников

Вычислительная математика

Учебно-методический комплекс

Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим

центром в качестве учебного пособия для студентов вузов региона

Издательство

ДВГТУ

Владивосток ∙ 2008

УДК 681.3.06+519.6

ББК 32.973я73

Б72

Рецензенты:

Г.К. Пак, канд. физ.-мат. наук, профессор

(Дальневосточный государственный университет);

А.Ю. Чеботарев, д-р физ.-мат. наук, профессор

(Институт прикладной математики ДВО РАН)

Бочарова, А.А.

Б Вычислительная математика: учеб. метод. комплекс / А.А. Бочарова; Е.П. Луппова; А.А. Ратников; Под ред. А.А. Бочаровой; Дальневосточный государственный технический университет. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2008. – с.

ISBN 978-5-7596-0923-0

Учебно-методический комплекс «Вычислительная математика» предназначен для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.

Конспект лекций содержит основные сведения по разделам: численные методы линейной алгебры, решения обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач, аппроксимация функций, методы интегрирования, сеточные методы. Практикум включает примеры решения типовых заданий, выполненных в математическом пакете Mathcad, которые могут быть использованы студентами для самостоятельной работы.

УДК 681.3.06+519.6

ББК 32.973я73

ISBN 978-5-7596-0923-0

© Дальневосточный государственный технический университет, 2008

Оглавление

1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений……………………………………………………………………………1

Основные понятия…………………………………………………………………...1 Элементы теории погрешностей……………………………………………………2 Численное дифференцирование. Аппроксимационные формулы………………3

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Метод Эйлера……………………………………………9

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Методы Рунге-Кутта…………………………………...13

Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка……………………………………………………………17

Метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка…………………………………………………………………………...…22

2. Аппроксимация функций……………………………………………………..30

Интерполяционный многочлен Лагранжа………………………………………..30

Многочлены Чебышева…………………………………………………………….35

Минимизация погрешности интерполяции полинома Лагранжа………………………………………………………………………….…37

Интерполяция с равноотстоящими узлами……………………………………….39

Кусочная аппроксимация…………………………………………………………..40

Сплайн-интерполяция……………………………………………………………...41

Метод наименьших квадратов…………………………………………………….43

Ортогональные полиномы…………………………………………………………48

3. Численное интегрирование…………………………………………………...51

Простейшие квадратурные формулы……………………………………………..51

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса………………………………………..55

Экстраполяция по Ричардсону…………………………………………………….57

Квадратурные формулы Гаусса, Чебышева………………………………………57

Метод Монте-Карло………………………………………………………………..63