ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕМОСТИ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ. КРИТЕРИЙ ГИЛЬБЕРТА.

Методические указания по курсу «Идентификация и диагностика систем»

Для студентов специальности 220201 -

«Информатика и управление в технических системах»

дневной формы обучения

ВОРОНЕЖ 2008

УДК 681.518 (076)

Анализ управляемости объектов и систем. Критерий Гильберта: Метод. указания и задания к лабораторной работе по курсу «Идентификация и диагностика систем» / Воронеж. гос. технол. акад.; Сост.: С.В. Рязанцев, Е.А. Хромых, А.В. Иванов. Воронеж, 2008. – 16 с.

Лабораторная работа разработана в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки инженера по специальности 220201 - «Информатика и управление в технических системах». Она предназначена для закрепления теоретических знаний дисциплин цикла СД. Задача работы – изучение критерия анализа управляемости объекта и систем (критерий Гильберта), приобретение практических навыков его использования. В методических указаниях представлены различные способы записи моделей объектов и систем, перехода от одного вида модели к другой, приведена методика определения управляемости объекта или системы регулирования по критерию Гильберта. Представлены варианты заданий к выполнению лабораторной работы, включающие структуру модели и таблицы коэффициентов.

Табл. 2. Библиогр.: 3 назв.

Составители: доценты С.В. РЯЗАНЦЕВ, Е.А. ХРОМЫХ,

ассистент А.В. ИВАНОВ

Научный редактор профессор В.С. КУДРЯШОВ

Рецензент доцент Н.Р. БОБРОВНИКОВ

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежской государственной технологической академии

© Рязанцев С.В.,

Хромых Е.А.,

Иванов А.В., 2008

© Воронежская

государственная

технологическая

академия, 2008

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежской государственной технологической академии, и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.

Цель работы: изучение критерия и методики анализа управляемости объектов и систем; приобретение практических навыков их использования.

1. Понятие пространства состояний

Понятие наблюдаемости и дуальное ему понятие управляемости были впервые введены Калманом. Хотя при обсуждении методов идентификации понятие наблюдаемости важнее понятия управляемости, оба они ввиду их дуальности (смежности) рассматриваются совместно.

Для введения понятия управляемости рассмотрим описание динамических объектов (динамических характеристик) в пространстве состояний.

Динамические системы могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных либо разностных уравнений на детерминистской основе.

Пример 1:

,

.

Подобное описание систем и объектов называется моделями вход-выход.

Любое из обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

. (1.1)

Вводим замену:

_,

(1.2)

Подобное описание систем и объектов называется моделью в переменных состояния.

Дифференциальное уравнение n-го порядка (система из п дифференциальных уравнений первого порядка) определены полностью лишь в том случае, когда заданы:

• все коэффициенты

• и известны п начальных условий

для дифференциального уравнения n-го порядка	для системы п дифференциальных уравнений первого порядка

Начальные условия образуют n-мерный вектор, кото­рый полностью (и точно) определяет состояние системы, описываемой названными уравнениями, в начальный момент времени t₀ (предполагается, что все входные или возмущающие воздействия известны с момента t₀ и далее).

. (1.3)

Указанный вектор называется вектором состояния системы в момент времени t₀ а его компоненты называются переменными состояния. Полученное, в результате записи в матричной форме системы дифференциальных уравнений (1.2), векторное дифференциальное уравнение (1.4) является уравнением состояния динамической системы.

=Ах+Вu, (1.4)

где х= – вектор состояния, пх1; u= – вектор возмущающих воздействий, или входной вектор, компоненты которого могут быть независимыми функциями времени, mх1; А, В — матрицы коэффициентов в общем случае размерности пхn и пхm соотвественно.

Говорят, что система является управляемой, если она может быть переведена из любого состояния x(t₀) при t=t₀ в любое другое желаемое состояние x(t₁) за конечный интервал времени τ (τ=t₁-t₀) путем приложения кусочно-непрерывного входного воздействия u(t), t (t₀, t₁).

2. Критерии управляемости

В литературе описаны критерии анализа управляемости (и соответственно наблюдаемости) систем. Все они основаны на:

1. рассмотрении канонического уравнения состояния;

2. полиномиальном разложении e^At.

1.2. Критерии управляемости для канонических систем

Опишем сначала критерий Гильберта для исследования управляемости линейной системы, представленной в канонической форме. Этот метод подразумевает, что система сначала должна быть приведена к канонической форме. Эта форма удобна тем, что в ней отсутствует взаимосвязь между каноническими переменными состояния.

Линейные преобразования

Чтобы построить вектор состояния различными спо­собами (в разных системах координат, в разных базисах), можно использовать линейное преобразование уравнения (1.4). Введем новый вектор состояния х*, являющийся линейной комбинацией п компонентов вектора х:

х*=Ψ^-1х, (1.5)

где х* – преобразованный вектор состояния; Ψ — матрица преобразования.

Выражая из (1.5) х и подставляя в (1.4) получим новое уравнение состояния:

Ψ =АΨх*+Вu, (1.6)

=А*х*+В*u, (1.7)

которое удовлетворяется при

А*=Ψ^-1АΨ, (1.8)

B*=Ψ^-1B. (1.9)

Указанное преобразование возможно только в том случае, когда существует матрица Ψ^-1.

Каноническое преобразование.

Среди множества различных линейных преобразований уравнения (1.4) одно играет особенно важную роль. Это так называемое каноническое преобразование, в которой матрицей преобразования Ψ является матрица собственных векторов V.

V= .

Собственными числами и собственным векторами матрицы А называются вектора v_i числа λ_i, удовлетворяющие уравнению:

λ_iv_i=Av_i, (1.10)

где A – матрица размерности nxn; i= .

Собственные значения матрицы А представляют собой решение характеристического уравнения:

, (1.11)

где I – единичная матрица, nxn.

В MathCad для расчета собственных значений матрицы используется функция eigenvals(A). Аргумент А функции eigenvals – матрица. Функция возвращает собственные значения аргумента.

Собственных векторы v_i, для случая, когда все λ_i различные, могут быть определены из уравнения (1.10) – прямое определение собственных векторов:

(A-λ_iI)v_i=0, (1.12)

где i= .

Для каждого собственного значения λ_i матричное уравнение имеет бесконечное множество решений v_i, поскольку .

Переходя от матричного уравнения (1.12) к системе однородных линейных уравнений относительно элементов вектора v_i=(v_i,1,v_i,2…v_i,n) и задавая значение одного из элементов вектора v_i (например, первого, который можно положить равным единице) вычисляют остальные.

В MathCad можно воспользоваться функцией расчета нормализованной матрицы V (составленной из собственных векторов матрицы-аргумента) с помощью функции eigenvecs(A). Аргумент А функции eigenvecs – матрица. Функция возвращает нормализованные значения аргумента. Результат функции eigenvecs(A) – матрица V.

Используя найденные собственные значения λ_i и матрицу собственных векторов V найдем матрицу А* и B*.

А*=Λ=V^-1АV, (1.13)

B*=V^-1B. (1.14)

В данном случае А* – диагональная матрица собственных значений матрицы A. Поэтому для нее введено специальное обозначение Λ. Преобразование матрицы А по формуле (1.13) с использованием матрицы V в матрицу Λ называется диагонализацией матрицы А.

Следует еще раз подчеркнуть, что матрица V^-1 существует, а приведенные выше уравнения и преобразования справедливы только для случая, когда все собственные значения λ_i различные.

Таким образом, применяя каноническое преобразование к уравнению (1.4), т.е. используя V как матрицу преобразования и учитывая (2.13), получим следующее каноническое уравнение состояния:

=Λх*+В*u, В*=V^-1B (1.15)

или в скалярной форме

(1.16)

Следовательно, каноническое преобразование приводит к системе уравнений состояния, в которой каждая производная (канонической) переменной состояния зависит только от соответствующей (канонической) переменной состояния и от входных сигналов.

В соответствии с критерием Гильберта система заданная в канонической форме (1.15) управляема, если ни одна из строк матрицы В* не является нулевой (т.е. для управляемости в каждой строке должен быть по меньшей мере один ненулевой элемент В*).