Коэффициенты , , …, этого разложения определяются однозначно и называются координатами вектора в базисе , , …, .

1.7. Что называется рангом системы векторов ?

Рассмотрим систему m векторов

= (а₁₁, а₂₁, …, а_n1)

= (а₁₂, а₂₂, …, а_n2)

. . . . . . . . . .

= (а_1m, а_2m, …, а_{n m})

линейного n-мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Этой системе векторов поставим в соответствие матрицу

А = ,

в i-ом столбце которой записаны координаты вектора . Матрица А называется матрицей данной системы векторов в данном базисе, а ранг этой матрицы – рангом системы векторов

, , …, .

1.8. Сформулировать теорему, позволяющую судить о линейной независимости векторов, заданных своими координатами.

Теорема. Для того, чтобы m векторов n-мерного линейного пространства были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен m.

Следствие 1. Система n векторов n-мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы m векторов линейного пространства равен r, максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно r.

Замечание. Максимальное число линейно независимых строк любой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, то есть равно рангу этой матрицы.

1.9. Какая матрица называется матрицей перехода

от одного базиса к другому базису n - мерного

пространства V_n ?

В линейном n-мерном пространстве V_n зафиксируем два базиса

, , …, (1)

, , …, (2)

Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1):

= t₁₁ + t₂₁ + … + t_n1

= t₁₂ + t₂₂ + … + t_n1

. . . . . . . . . . .

= t_1n + t_2n + … + t_nn .

Матрица Т =

называется матрицей перехода от базиса (1) к базису (2).

Легко видеть, что матрица Т^-1 , обратная матрице Т, является матрицей перехода от базиса (2) к базису (1).

1.10. Сформулировать теорему, устанавливающую связь между координатами вектора в различных

базисах

Теорема. Если х₁, x₂, …, x_n – координаты вектора в базисе , , …, ; х₁, x₂, …, x_n - координаты того же вектора в базисе , , …, , то

Х = Т Х, (3)

где

Х = , Х = ,

Т – матрица перехода от базиса , , …, к базису

, , …, .

Замечание. Формулы (3) выражают старые координаты х₁, x₂, …, x_n вектора через его новые координаты. Для того, чтобы получить формулы, выражающие новые координаты через старые, достаточно умножить равенство (3) на матрицу Т^-1; после простых преобразований получим: Х = Т^-1 Х.

1.11.Что называется линейным преобразованием?

Если указано правило, по которому каждому вектору линейного пространства V ставится в соответствие единственный вектор этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор) f и пишут f : V  V. Говорят также, что преобразование f переводит вектор х в вектор и пишут = f ( ).

Преобразование f линейного пространства V называется линейным преобразованием (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства , , и любого действительного числа  выполняются условия:

1. f ( + ) = f ( ) + f ( ).

2. f ( ) =  f ( ).