Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
Снова начнем с рассмотрения двумерного .
Определение.
называется непрерывным
(
)
(или имеющим непрерывный
закон распределения),
если существует такая функция
,
двух действительных переменных, что
для любой точки
ФР
допускает представление:
.
(3.5)
Функция при этом называется плотностью вероятностей (ПВ) или двумерной плотностью вероятностей или совместной плотностью вероятностей случайных величин и .
Везде далее будем предполагать, что ПВ непрерывна на всей плоскости, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Из определения (3.5) следует:
ФР является непрерывной по и по
(как двойной интеграл с переменными верхними пределами);
2. ФР является дифференцируемой по и по во всех точках , являющихся точками непрерывности двумерной ПВ , и при этом имеет место равенство:
(3.6)
(также по свойствам двойного интеграла с переменными верхними пределами).
Вероятностный смысл двумерной ПВ.
Из (3.6), определения производной и свойства 6 двумерной ФР получаем, что
.
Таким образом,
плотность вероятностей
- это предел отношения вероятности
попадания непрерывного случайного
вектора
в прямоугольник со сторонами
и
,
параллельными осям координат, к площади
этого прямоугольника, когда длины обеих
сторон стремятся к нулю (при интерпретации
вероятности как массы, приходящейся на
элементарный прямоугольник
,
получаем, что
есть плотность массы в точке
).
При малых и можно также записать, что
.
(3.7)
Свойства плотности вероятностей случайного вектора :
1.
.
▲ Поскольку ФР
является неубывающей функцией по каждому
из своих аргументов,
то ее производная
.
Поэтому свойство следует из равенства
(3.6) ■.
2.
- условие
нормировки.
▲ Из представления
(3.5) следует, что
,
а в соответствии со свойством 4 двумерной
ФР
■.
3. Вероятность
попадания
в любую область
определяется формулой:
.
▲
Разобъем множество
на
элементарных непересекающихся
прямоугольников
со сторонами,
параллельными осям координат и
равными
и
,
.
Так как в соответствии с (3.7)
и
,
то в силу аддитивности вероятности
имеем:
.
Последняя
сумма является интегральной, и поэтому
предельный переход при
приводит к равенству
■.
4. Координаты
с ПВ
являются НСВ с ПВ
соответственно (маргинальные ПВ),
определяемыми формулами:
,
(3.8)
в точках непрерывности
функций
и
▲ Из представления (3.5) следует, что
.
Дифференцируя обе
части этого равенства по
,
в точках непрерывности функций
и
получаем:
.
Аналогично,
и после дифференцирования обеих частей последнего равенства по , имеем:
в точках непрерывности функций и ■.
Пример. (Равномерное распределение в области ).
Говорят, что
имеет равномерное распределение в
области
,
если его ПВ постоянна внутри области
:
Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
,
то есть
,
где
- площадь области
.
а) Равномерное распределение в прямоугольнике.
Непрерывный
случайный вектор
имеет равномерное распределение в
прямоугольнике
со сторонами, параллельными осям
координат, если его плотность вероятностей
имеет вид:
Найдем одномерные ПВ координат .
В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ
.
Таким образом,
то есть
.
Аналогично,
.
Таким образом,
то есть
.
б) Равномерное распределение в круге.
Н
епрерывный
случайный вектор
имеет равномерное распределение в круге
,
если его плотность вероятностей имеет
вид:
Найдем одномерные ПВ координат .
В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ
.
Таким образом,
Аналогично
.
Таким образом,
Все приведенные выше определения и формулы для двумерного легко обобщаются на случай -мерного случайного вектора .
Определение.
называется непрерывным (
),
если существует такая функция
действительных переменных, что для
любой точки
ФР
допускает представление:
.
Функция при этом называется плотностью вероятностей (ПВ) или многомерной ( -мерной) ПВ, или совместной ПВ СВ .
Во всех точках , являющихся точками непрерывности ПВ , имеет место равенство:
.
Свойства многомерной плотности вероятностей :
1.
.
2.
- условие
нормировки.
3. Вероятность
попадания случайного вектора
в любую область
определяется формулой:
;
4. Если
-
с ПВ
,
то
при любом
также является непрерывным и имеет ПВ,
определяемую формулой:
.