1. Для любых .

2. Является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

4. , если хотя бы один из аргументов .

.

5. (Свойство согласованности). По ФР можно получить ФР любой совокупности из его координат. Для этого следует в ФР положить аргументы для .

Многомерный аналог свойства 6 двумерной ФР приводить не будем из-за необходимости введения разностных операторов и его громоздкой записи.

В приложениях, как правило, имеют дело со двух типов: дискретными и непрерывными. В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем ФР, способы задания .

Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора

Определение. называется дискретным ( ), если множество его возможных значений конечно или счетно:

или ,

где .

Из определения следует, что является дискретным тогда и только тогда, когда все его координаты , являются ДСВ.

Рассмотрим более подробно случай двумерного , принимающего конечное число значений (случай счетного числа значений рассмотреть самостоятельно). Для полной вероятностной характеристики такого достаточно указать все его возможные значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, (предполагается, что СВ принимает значений, а СВ принимает значений, так что у вектора возможных значений ).

Как и в одномерном случае, подобную информацию о записывают в виде таблицы, но с двумя входами:

			…		(3.2)
			…
			…
			…

которую называют законом распределения (ЗР) (двумерным дискретным ЗР или совместным ЗР ДСВ и ).

При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то вероятности удовлетворяют условию нормировки:

.

По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любую область определяется по формуле:

.

В частности, когда , получается следующее выражение для функции распределения :

.

(ср. с одномерным случаем, когда ).

График ФР является кусочно-постоянным со скачками в точках , являющихся его возможными значениями, величина скачков определяется вероятностями .

Одномерные ЗР каждой из СВ и в отдельности (маргинальные законы распределения) являются дискретными и находятся по двумерному ЗР следующим образом:

Так как событие , то в силу аддитивности вероятности

. (3.3)

Таким образом, ЗР СВ имеет вид:

где в соответствии с (3.3) вероятность получается суммированием в -ой строке таблицы (3.2) вероятностей , .

Аналогично, вероятности

(3.4)

и поэтому ЗР СВ имеет вид:

где в соответствии с (3.4) вероятность получается суммированием в -ом столбце таблицы (3.2) вероятностей , .

Многомерный случай полностью аналогичен двумерному, только менее нагляден и имеет громоздкую индексацию. Так, ЗР определяется набором вероятностей , где - значения координаты , , .