Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

на первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные её значения, нужно ещё указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

X x₁ x₂ … x_n

p p₁ p₂ … p_n

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем что события X=x₁, X=x₂, …, X=x_n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, тюе. сумма второй строки таблицы, равна единице:

p₁+ p₂+ … + p_n=1.

Если множество возможных значений Х бесконечно (счётно), то ряд p₁+ p₂+ … сходится и его сумма равна единице.

Пример

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х - стоимости возможного выигрыша для одного лотерейного билета.

Решение

Напишем возможные значения Х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: р₁=0,01, р₂=0,1, р₃=1-( р₁+ р₂)=0,89.

Напишем искомый закон распределения:

X 50 10 0

p 0,01 0,1 0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i, p_i), соединяют их отрезками прямых. полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Таким образом, становится ясно, что закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание приближённо раво среднему значению случайной величины.

Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание даёт о случайной величине значительно меньше сведений, чем её распределение, но для решения задач, подобных приведённой и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения x₁, x₂, …, x_n, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

M(X)=x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n.

Если дискретная случайная величина Х принимает счётное (бесконечное) множество возможных значений, то

причём математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример

Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон её распределения:

X 3 5 2

p 0,1 0,6 0,3

Решение

Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х)=3х0,1+5х0,6+2х0,3=3,9.

Вероятностный смысл математического ожидания

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее , чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Легко заметить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.

Распределение дискретной вероятности, что дл

Рассмотрим единичный опыт с подбрасыванием монеты. В этом случае существует два равнозначных исхода: «орёл» или «решка». Выпишем результаты (исходы) в случае выполнения нескольких последовательных подбрасываний (опытов).

1 подбрасывание: О Р

2 подбрасывания: ОО ОР РО РР

3 подбрасывания: ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР

Нетрудно предположить, что в случае 4-х подбрасываний исходы 3-х подбрасываний будут повторяться с добавлением исходов О или Р в каждом случае:

ОООО ООРО ОРОО ОРРО РООО РОРО РРОО РРРО ОООР ООРР ОРОР ОРРР РООР РОРР РРОР РРРР