Условная вероятность

Условной вероятностью P_A(B) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Обозначается P(B|A).

Если события A и B являются независимыми, то наступление события A никак не влияет на вероятность события В. В этом случае P(B|A)= P(B).

Если события A и B зависимы, то наступление события А влияет на вероятность события В.

Например:

В ящике находится 5 резисторов на 10 ом и12 резисторов на 30 ом. Все резисторы имеют одинаковый размер и никак не помечены.

а) определите вероятность того, что один взятый наугад резистор будет резистором на 10 ом.

b) определить вероятность того, что второй выбранный случайно резистор окажется резистором на 30 ом, при условии, что первый взятый резистор, оказался резистором на 10 ом и он не возвращён в ящик (отложен в сторону).

Решение:

Пусть события

А={выбран резистор на 10 ом}

B={выбран резистор на 30 ом}.

а) n=5+12=17, P(A)=5/17

b) теперь в ящике находится 4 резистора на 10 ом и 12 резисторов на 30 ом.

Вероятность события B при условии, что состоялось событие A

P(B|A)=12/16=3/4.

Вычислим теперь вероятность сложного события, при котором первый раз из ящика был выбран резистор на 10 ом, этот резистор был отложен в сторону, во второй раз из ящика достали резистор на 30 ом

P(A and B|A)=P(A) x P(B|A)=5/17 x ¾=15/68.

Таким образом

• если A и B являются независимыми событиями, то вероятность того, что они произойдут в одном опыте P(A and B)= P(A) x P(B);

• если A и B являются зависимыми событиями, то вероятность того, что они произойдут в одном опыте P(A and B)= P(A) x P(B|A).

При решении задач необходимо тщательно читать сформулированные требования (условия) и использовать соответствующие формулы.

Приведём ещё раз часто используемые формулы

Для независимых событий

P(A or B)= P(A) + P(B), т.е. or ассоциируется с +

P(A and B)= P(A) x P(B), т.е. and ассоциируется с x.

Для зависимых событий

P(A or B)= P(A) + P(B)

P(A and B)= P(A) x P(B|A).

Полная группа событий

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

В частности, если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример:

Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдёт одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример:

Стрелок произвёл выстрел по цели. Обязательно произойдёт одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

Сумма вероятностей событий А₁, А_{2, .}..., А_n, образующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n)=1.

Пример:

Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7; из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7+0,2+р=1. Отсюда искомая вероятность р=1-0,9=0,1.